Упр.5.68 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Найдите производную порядка $$200$$ функции:

а) $$f(x)=\sin x$$;

б) $$f(x)=\cos x$$;

в) $$f(x)=e^x$$.

Используем правило дифференцирования тригонометрических и показательной функций:

$$(\sin x)’=\cos x,\qquad (\cos x)’=-\sin x,\qquad (e^x)’=e^x.$$

Для функций $$\sin x$$ и $$\cos x$$ производные повторяются через каждые 4 шага:

$$\sin x \to \cos x \to -\sin x \to -\cos x \to \sin x,$$

$$\cos x \to -\sin x \to -\cos x \to \sin x \to \cos x.$$

Так как $$200=4\cdot 50,$$ то 200-я производная совпадает с исходной функцией.

а) $$f^{(200)}(x)=\sin x;$$

б) $$f^{(200)}(x)=\cos x;$$

в) для функции $$f(x)=e^x$$ любая производная равна самой функции, значит

$$f^{(200)}(x)=e^x.$$

Ответ

а) $$\sin x$$; б) $$\cos x$$; в) $$e^x$$.