Упр.5.67 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

f(x) = аnхn + аn-1хх^(n- 1) + … + а1х + а0, где n > = 2.
Запишите полученный результат для n = 2, n = 3, n = 4.

Для многочлена

$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0,\quad n\ge 2$$

по правилу дифференцирования степенной функции получаем:

$$f'(x)=na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\dots+3a_3x^2+2a_2x+a_1.$$

Ещё раз дифференцируем:

$$f»(x)=n(n-1)a_nx^{n-2}+(n-1)(n-2)a_{n-1}x^{n-3}+\dots+6a_3x+2a_2.$$

Третий производная:

$$f»'(x)=n(n-1)(n-2)a_nx^{n-3}+(n-1)(n-2)(n-3)a_{n-1}x^{n-4}+\dots+6a_3.$$

Теперь запишем результат для заданных значений $n$.

При $n=2$:

$$f(x)=a_2x^2+a_1x+a_0,$$

$$f'(x)=2a_2x+a_1,$$

$$f»(x)=2a_2,$$

$$f»'(x)=0.$$

При $n=3$:

$$f(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0,$$

$$f'(x)=3a_3x^2+2a_2x+a_1,$$

$$f»(x)=6a_3x+2a_2,$$

$$f»'(x)=6a_3.$$

При $n=4$:

$$f(x)=a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0,$$

$$f'(x)=4a_4x^3+3a_3x^2+2a_2x+a_1,$$

$$f»(x)=12a_4x^2+6a_3x+2a_2,$$

$$f»'(x)=24a_4x+6a_3.$$

Ответ

$$f'(x)=na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\dots+3a_3x^2+2a_2x+a_1,$$

$$f»(x)=n(n-1)a_nx^{n-2}+(n-1)(n-2)a_{n-1}x^{n-3}+\dots+6a_3x+2a_2,$$

$$f»'(x)=n(n-1)(n-2)a_nx^{n-3}+(n-1)(n-2)(n-3)a_{n-1}x^{n-4}+\dots+6a_3.$$

При $n=2$: $$f'(x)=2a_2x+a_1,\ f»(x)=2a_2,\ f»'(x)=0.$$

При $n=3$: $$f'(x)=3a_3x^2+2a_2x+a_1,\ f»(x)=6a_3x+2a_2,\ f»'(x)=6a_3.$$

При $n=4$: $$f'(x)=4a_4x^3+3a_3x^2+2a_2x+a_1,\ f»(x)=12a_4x^2+6a_3x+2a_2,\ f»'(x)=24a_4x+6a_3.$$