Упр.5.64 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. 5.64. Точка движется по прямой по закону $$s(t)$$. Выразите скорость $$v$$ точки и её ускорение $$a$$ как функцию времени $$t$$. Определите $$v$$ и $$a$$ в момент времени $$t$$, если:
   а) $$s(t)=5t^2-10t+1$$, $$t=0$$, $$t=2$$, $$t=4$$;
   б) $$s(t)=2t^2-8t+1$$, $$t=0$$, $$t=1$$, $$t=5$$;
   в) $$s(t)=t^3-2t^2+t+1$$, $$t=0$$, $$t=2$$, $$t=3$$.
   Определите в каждом случае момент времени, когда скорость точки равна нулю.

Скорость точки равна производной пути: $$v(t)=s'(t),$$ а ускорение — производной скорости: $$a(t)=v'(t)=s»(t).$$

1. а) $$s(t)=5t^2-10t+1$$

   Тогда

   $$v(t)=s'(t)=10t-10,$$

   $$a(t)=v'(t)=10.$$

   Найдём значения в указанные моменты времени:

   $$v(0)=-10,\quad v(2)=10,\quad v(4)=30,$$

   $$a(0)=a(2)=a(4)=10.$$

   Скорость равна нулю, когда

   $$10t-10=0,$$

   $$t=1.$$

2. б) $$s(t)=2t^2-8t+1$$

   Тогда

   $$v(t)=s'(t)=4t-8,$$

   $$a(t)=v'(t)=4.$$

   Найдём значения в указанные моменты времени:

   $$v(0)=-8,\quad v(1)=-4,\quad v(5)=12,$$

   $$a(0)=a(1)=a(5)=4.$$

   Скорость равна нулю, когда

   $$4t-8=0,$$

   $$t=2.$$

3. в) $$s(t)=t^3-2t^2+t+1$$

   Тогда

   $$v(t)=s'(t)=3t^2-4t+1,$$

   $$a(t)=v'(t)=6t-4.$$

   Найдём значения в указанные моменты времени:

   $$v(0)=1,\quad v(2)=5,\quad v(3)=16,$$

   $$a(0)=-4,\quad a(2)=8,\quad a(3)=14.$$

   Скорость равна нулю, когда

   $$3t^2-4t+1=0,$$

   $$D=16-12=4,$$

   $$t=\frac{4\pm 2}{6}.$$

   Получаем

   $$t=\frac13 \text{ или } t=1.$$

Ответ

а) $$v(t)=10t-10,\ a(t)=10;$$ $$v(0)=-10,\ v(2)=10,\ v(4)=30;$$ $$a(0)=a(2)=a(4)=10;$$ $$v=0 \text{ при } t=1.$$

б) $$v(t)=4t-8,\ a(t)=4;$$ $$v(0)=-8,\ v(1)=-4,\ v(5)=12;$$ $$a(0)=a(1)=a(5)=4;$$ $$v=0 \text{ при } t=2.$$

в) $$v(t)=3t^2-4t+1,\ a(t)=6t-4;$$ $$v(0)=1,\ v(2)=5,\ v(3)=16;$$ $$a(0)=-4,\ a(2)=8,\ a(3)=14;$$ $$v=0 \text{ при } t=\frac13 \text{ и } t=1.$$