Упр.5.64 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
а) s(t) = 5t2 — 10t + 1, t = 0, t = 2, t = 4;
б) s(t) = 2t2 — 8t + 1, t = 0, t = 1, t = 5;
в) s(t) = t3 — 2t2 + t + 1, t = 0, t = 2, t = 3.
Определите в каждом случае момент времени, когда скорость точки равна нулю.
Скорость точки равна производной пути: $$v(t)=s'(t),$$ а ускорение — производной скорости: $$a(t)=v'(t)=s»(t).$$
а) $$s(t)=5t^2-10t+1$$
Тогда
$$v(t)=s'(t)=10t-10,$$
$$a(t)=v'(t)=10.$$
Найдём значения в указанные моменты времени:
$$v(0)=-10,\quad v(2)=10,\quad v(4)=30,$$
$$a(0)=a(2)=a(4)=10.$$
Скорость равна нулю, когда
$$10t-10=0,$$
$$t=1.$$
б) $$s(t)=2t^2-8t+1$$
Тогда
$$v(t)=s'(t)=4t-8,$$
$$a(t)=v'(t)=4.$$
Найдём значения в указанные моменты времени:
$$v(0)=-8,\quad v(1)=-4,\quad v(5)=12,$$
$$a(0)=a(1)=a(5)=4.$$
Скорость равна нулю, когда
$$4t-8=0,$$
$$t=2.$$
в) $$s(t)=t^3-2t^2+t+1$$
Тогда
$$v(t)=s'(t)=3t^2-4t+1,$$
$$a(t)=v'(t)=6t-4.$$
Найдём значения в указанные моменты времени:
$$v(0)=1,\quad v(2)=5,\quad v(3)=16,$$
$$a(0)=-4,\quad a(2)=8,\quad a(3)=14.$$
Скорость равна нулю, когда
$$3t^2-4t+1=0,$$
$$D=16-12=4,$$
$$t=\frac{4\pm 2}{6}.$$
Получаем
$$t=\frac13 \text{ или } t=1.$$
Ответ
а) $$v(t)=10t-10,\ a(t)=10;$$ $$v(0)=-10,\ v(2)=10,\ v(4)=30;$$ $$a(0)=a(2)=a(4)=10;$$ $$v=0 \text{ при } t=1.$$
б) $$v(t)=4t-8,\ a(t)=4;$$ $$v(0)=-8,\ v(1)=-4,\ v(5)=12;$$ $$a(0)=a(1)=a(5)=4;$$ $$v=0 \text{ при } t=2.$$
в) $$v(t)=3t^2-4t+1,\ a(t)=6t-4;$$ $$v(0)=1,\ v(2)=5,\ v(3)=16;$$ $$a(0)=-4,\ a(2)=8,\ a(3)=14;$$ $$v=0 \text{ при } t=\frac13 \text{ и } t=1.$$
