Упр.5.61 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что функция $$f(x)=x^4+4x^3+28$$ принимает положительные значения для каждого $$x\in\mathbb{R}$$.

Найдём производную функции:

$$f(x)=x^4+4x^3+28,$$

$$f'(x)=4x^3+12x^2=4x^2(x+3).$$

Критические точки:

$$4x^2(x+3)=0 \;\Rightarrow\; x=-3,\; x=0.$$

Исследуем знак производной. Так как $$4x^2\ge 0,$$ то знак $$f'(x)$$ определяется множителем $$x+3$$:

при $$x<-3$$ имеем $$f'(x)<0,$$
при $$x>-3$$ имеем $$f'(x)>0$$ (кроме точки $$x=0,$$ где $$f'(0)=0$$).

Значит, в точке $$x=-3$$ функция имеет минимум.

Вычислим значение функции в этой точке:

$$f(-3)=(-3)^4+4(-3)^3+28=81-108+28=1.$$

Следовательно, наименьшее значение функции равно $$1$$, а значит, для всех $$x\in\mathbb{R}$$

$$f(x)\ge 1>0.$$

Ответ

$$f(x)>0$$ при всех $$x\in\mathbb{R}.$$