Упр.5.59 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 5.59* Докажите, что функция f(x) = 1х3/3 — х2 — 8х + 1 на отрезке [-1; 3] имеет единственный нуль. Сколько нулей на промежутке (-бесконечность; +бесконечность) имеет функция f(x)? Определите точки локального экстремума функции f(x).
Найдём производную функции:
$$f(x)=\frac13x^3-x^2-8x+1,$$
$$f'(x)=x^2-2x-8=(x-4)(x+2).$$
Критические точки:
$$f'(x)=0 \iff x=-2,\; x=4.$$
Исследуем знак производной:
$$f'(x)>0 \text{ при } x<-2 \text{ и } x>4,$$
$$f'(x)<0 \text{ при } -2<x<4.$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-2)$$ и $$ (4;+\infty),$$ убывает на $$(-2;4).$$
Вычислим значения в критических точках:
$$f(-2)=\frac13(-8)-4+16+1=\frac{31}{3},$$
$$f(4)=\frac13\cdot64-16-32+1=-\frac{77}{3}.$$
Так как функция непрерывна и на отрезке $$[-1;3]$$ убывает, а
$$f(-1)=\frac13+1+8+1=\frac{31}{3}>0,$$
$$f(3)=9-9-24+1=-23<0,$$
то по теореме о промежуточных значениях на отрезке $$[-1;3]$$ существует хотя бы один нуль. Поскольку на этом отрезке функция убывает, нуль единственный.
Теперь найдём число нулей на всей числовой прямой. Так как функция возрастает на $$(-\infty;-2),$$ убывает на $$(-2;4)$$ и снова возрастает на $$ (4;+\infty),$$ а
$$f(-2)=\frac{31}{3}>0,\qquad f(4)=-\frac{77}{3}<0,$$
то:
- на $$(-\infty;-2)$$ есть один нуль;
- на $$(-2;4)$$ есть один нуль;
- на $$ (4;+\infty)$$ есть один нуль.
Следовательно, всего у функции три нуля.
Точки локального экстремума определяются по смене знака производной:
- при $$x=-2$$ знак меняется с $$+$$ на $$-$$, значит, это точка локального максимума;
- при $$x=4$$ знак меняется с $$-$$ на $$+$$, значит, это точка локального минимума.
Найдём соответствующие значения функции:
$$f(-2)=\frac{31}{3},\qquad f(4)=-\frac{77}{3}.$$
Ответ
На отрезке $$[-1;3]$$ функция имеет единственный нуль. На всей числовой прямой функция имеет три нуля. Точки локального экстремума: $$(-2;\frac{31}{3})$$ — локальный максимум, $$ (4;-\frac{77}{3})$$ — локальный минимум.
