Упр.5.58 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
а) f(x) = (x-2,5)/ (x2-4);
б) f(x) = (x-5)/(9-x2);
в) f(х) = 2×2 — lnх;
г) f(x) = lnx — 4,5х2.
а) $$f(x)=\frac{x-2{,}5}{x^2-4}$$
Область определения:
$$x^2-4\ne 0,\quad x\ne -2,\ x\ne 2.$$
Значит, $$D(f)=(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty).$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{(x^2-4)-2x(x-2{,}5)}{(x^2-4)^2}=\frac{-x^2+5x-4}{(x^2-4)^2}.$$
$$-x^2+5x-4=0 \;\Longleftrightarrow\; x^2-5x+4=0 \;\Longleftrightarrow\; (x-1)(x-4)=0.$$
Критические точки: $$x=1,\ x=4,$$ точки разрыва: $$x=-2,\ x=2.$$
Так как знаменатель положителен на области определения, знак $$f'(x)$$ определяется числителем. Получаем:
$$f'(x)<0 \text{ на } (-\infty;-2)\cup(-2;1)\cup(4;+\infty),$$
$$f'(x)>0 \text{ на } (1;2)\cup(2;4).$$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;-2),\ (-2;1),\ (4;+\infty),$$ возрастает на $$ (1;2),\ (2;4).$$
б) $$f(x)=\frac{x-5}{9-x^2}$$
Область определения:
$$9-x^2\ne 0,\quad x\ne -3,\ x\ne 3.$$
Значит, $$D(f)=(-\infty;-3)\cup(-3;3)\cup(3;+\infty).$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{(9-x^2)- (x-5)(-2x)}{(9-x^2)^2}=\frac{x^2-10x+9}{(9-x^2)^2}.$$
$$x^2-10x+9=0 \;\Longleftrightarrow\; (x-1)(x-9)=0.$$
Критические точки: $$x=1,\ x=9,$$ точки разрыва: $$x=-3,\ x=3.$$
Так как знаменатель положителен на области определения, знак $$f'(x)$$ определяется числителем. Тогда:
$$f'(x)>0 \text{ на } (-\infty;-3)\cup(-3;1)\cup(9;+\infty),$$
$$f'(x)<0 \text{ на } (1;3)\cup(3;9).$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-3),\ (-3;1),\ (9;+\infty),$$ убывает на $$ (1;3),\ (3;9).$$
в) $$f(x)=2x^2-\ln x$$
Область определения:
$$x>0,\quad D(f)=(0;+\infty).$$
Найдём производную:
$$f'(x)=4x-\frac1x=\frac{4x^2-1}{x}.$$
$$4x^2-1=0 \;\Longleftrightarrow\; x=\frac12 \quad (\text{так как } x>0).$$
На промежутках области определения:
$$f'(x)<0 \text{ на } \left(0;\frac12\right),\qquad f'(x)>0 \text{ на } \left(\frac12;+\infty\right).$$
Следовательно, функция убывает на $$\left(0;\frac12\right),$$ возрастает на $$\left(\frac12;+\infty\right).$$
г) $$f(x)=\ln x-4{,}5x^2$$
Область определения:
$$x>0,\quad D(f)=(0;+\infty).$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac1x-9x=\frac{1-9x^2}{x}.$$
$$1-9x^2=0 \;\Longleftrightarrow\; x=\frac13 \quad (\text{так как } x>0).$$
Тогда:
$$f'(x)>0 \text{ на } \left(0;\frac13\right),\qquad f'(x)<0 \text{ на } \left(\frac13;+\infty\right).$$
Следовательно, функция возрастает на $$\left(0;\frac13\right),$$ убывает на $$\left(\frac13;+\infty\right).$$
Ответ
а) непрерывна на $$(-\infty;-2),\ (-2;2),\ (2;+\infty)$$; убывает на $$(-\infty;-2),\ (-2;1),\ (4;+\infty)$$; возрастает на $$ (1;2),\ (2;4).$$
б) непрерывна на $$(-\infty;-3),\ (-3;3),\ (3;+\infty)$$; возрастает на $$(-\infty;-3),\ (-3;1),\ (9;+\infty)$$; убывает на $$ (1;3),\ (3;9).$$
в) непрерывна на $$ (0;+\infty)$$; убывает на $$\left(0;\frac12\right)$$; возрастает на $$\left(\frac12;+\infty\right).$$
г) непрерывна на $$ (0;+\infty)$$; возрастает на $$\left(0;\frac13\right)$$; убывает на $$\left(\frac13;+\infty\right).$$
