Упр.5.57 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
а) у = 2х3 — Зх2 — 12х + 6;
б) у = х3 — 6х2 + 9х + 3;
в) у = 5х2- lnх;
г) у = lnх-2х2.
а) $$y=2x^3-3x^2-12x+6$$
Найдём производную:
$$y’=6x^2-6x-12=6(x^2-x-2)=6(x-2)(x+1).$$
Критические точки:
$$6(x-2)(x+1)=0 \Rightarrow x=-1,\; x=2.$$
Знак производной:
$$y’>0 \text{ при } x\in(-\infty,-1)\cup(2,+\infty),$$
$$y'<0 \text{ при } x\in(-1,2).$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty,-1]$$ и $$[2,+\infty),$$ убывает на $$[-1,2].$$
б) $$y=x^3-6x^2+9x+3$$
Найдём производную:
$$y’=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3).$$
Критические точки:
$$3(x-1)(x-3)=0 \Rightarrow x=1,\; x=3.$$
Знак производной:
$$y’>0 \text{ при } x\in(-\infty,1)\cup(3,+\infty),$$
$$y'<0 \text{ при } x\in(1,3).$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty,1]$$ и $$[3,+\infty),$$ убывает на $$[1,3].$$
в) $$y=5x^2-\ln x$$
Область определения: $$x>0.$$
Найдём производную:
$$y’=10x-\frac{1}{x}=\frac{10x^2-1}{x}.$$
Критические точки из уравнения $$y’=0$$:
$$10x^2-1=0 \Rightarrow x=\frac{1}{\sqrt{10}}.$$
Точка $$x=0$$ не входит в область определения, поэтому критической не является.
Так как при $$x>0$$ знаменатель положителен, знак производной определяется числителем:
$$y'<0 \text{ при } x\in\left(0,\frac{1}{\sqrt{10}}\right),$$
$$y’>0 \text{ при } x\in\left(\frac{1}{\sqrt{10}},+\infty\right).$$
Значит, функция убывает на $$\left(0,\frac{1}{\sqrt{10}}\right]$$ и возрастает на $$\left[\frac{1}{\sqrt{10}},+\infty\right).$$
г) $$y=\ln x-2x^2$$
Область определения: $$x>0.$$
Найдём производную:
$$y’=\frac{1}{x}-4x=\frac{1-4x^2}{x}.$$
Критические точки из уравнения $$y’=0$$:
$$1-4x^2=0 \Rightarrow x=\frac{1}{2}.$$
Точка $$x=0$$ не входит в область определения.
При $$x>0$$ знак производной определяется числителем:
$$y’>0 \text{ при } x\in\left(0,\frac{1}{2}\right),$$
$$y'<0 \text{ при } x\in\left(\frac{1}{2},+\infty\right).$$
Следовательно, функция возрастает на $$\left(0,\frac{1}{2}\right]$$ и убывает на $$\left[\frac{1}{2},+\infty\right).$$
Ответ
а) критические точки: $$x=-1,\;2$$; возрастает на $$(-\infty,-1]$$ и $$[2,+\infty)$$, убывает на $$[-1,2]$$.
б) критические точки: $$x=1,\;3$$; возрастает на $$(-\infty,1]$$ и $$[3,+\infty)$$, убывает на $$[1,3]$$.
в) критическая точка: $$x=\frac{1}{\sqrt{10}}$$; убывает на $$\left(0,\frac{1}{\sqrt{10}}\right]$$, возрастает на $$\left[\frac{1}{\sqrt{10}},+\infty\right)$$.
г) критическая точка: $$x=\frac{1}{2}$$; возрастает на $$\left(0,\frac{1}{2}\right]$$, убывает на $$\left[\frac{1}{2},+\infty\right)$$.
