Упр.5.55 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Докажите, что функция $$f(x)=x^3-6x^2+9x-1$$ возрастает на каждом из промежутков $$(-\infty;1]$$ и $$[3;+\infty)$$.

Найдём производную функции:

$$f(x)=x^3-6x^2+9x-1$$

$$f'(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)$$

Исследуем знак производной:

• при $$x<1$$ оба множителя $$x-1$$ и $$x-3$$ отрицательны, значит $$f'(x)>0$$;
• при $$1<x<3$$ множители разных знаков, значит $$f'(x)<0$$;
• при $$x>3$$ оба множителя положительны, значит $$f'(x)>0$$.

Следовательно, функция возрастает на промежутках, где производная неотрицательна и сохраняет положительный знак: $$(-\infty;1]$$ и $$[3;+\infty)$$.

Ответ

Функция $$f(x)=x^3-6x^2+9x-1$$ возрастает на промежутках $$(-\infty;1]$$ и $$[3;+\infty)$$.