Упр.5.54 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что функция $$f(x)=\frac{1}{x}$$ убывает на каждом из промежутков $$(-\infty;0)$$ и $$(0;+\infty)$$.

Найдём производную функции:

$$f(x)=\frac{1}{x}, \qquad x\ne 0$$

$$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$$

Так как при любом $$x\ne 0$$ выполняется $$x^2>0$$, то

$$f'(x)=-\frac{1}{x^2}<0.$$

Следовательно, функция $$f(x)=\frac{1}{x}$$ убывает на каждом из промежутков своей области определения: $$(-\infty;0)$$ и $$(0;+\infty).$$

Ответ

Функция $$f(x)=\frac{1}{x}$$ убывает на промежутках $$(-\infty;0)$$ и $$(0;+\infty).$$