Упр.5.53 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

a) f(х) = -2х + cos х; б) f(х) = -х + sin х
убывает на промежутке R.

а) $$f(x)=-2x+\cos x$$

Найдём производную:

$$f'(x)=-2-\sin x.$$

Так как $$-1\le \sin x\le 1,$$ то

$$-2-\sin x\le -1<0.$$

Следовательно, $$f'(x)<0$$ при всех $$x\in \mathbb{R},$$ значит, функция $$f(x)$$ убывает на всей числовой прямой.

б) $$f(x)=-x+\sin x$$

Найдём производную:

$$f'(x)=-1+\cos x.$$

Так как $$-1\le \cos x\le 1,$$ то

$$-1+\cos x\le 0.$$

Следовательно, $$f'(x)\le 0$$ при всех $$x\in \mathbb{R},$$ значит, функция $$f(x)$$ убывает на $$\mathbb{R}.$$

Ответ

Обе функции убывают на промежутке $$\mathbb{R}.$$