Упр.5.52 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Докажите, что функция: а) $$f(x)=2x+\cos x$$; б) $$f(x)=x+\sin x$$ возрастает на промежутке $$R$$.

Исследуем функцию на возрастание с помощью производной.

а) $$f(x)=2x+\cos x$$

Найдём производную:

$$f'(x)=2-\sin x.$$

Так как $$-1\le \sin x\le 1,$$ то

$$f'(x)=2-\sin x\ge 2-1=1>0.$$

Следовательно, $$f(x)$$ возрастает на всей $$\mathbb{R}.$$

б) $$f(x)=x+\sin x$$

Найдём производную:

$$f'(x)=1+\cos x.$$

Так как $$-1\le \cos x\le 1,$$ то

$$f'(x)=1+\cos x\ge 1-1=0.$$

Значит, функция не убывает на $$\mathbb{R}.$$ При этом производная обращается в нуль лишь в отдельных точках, поэтому функция возрастает на $$\mathbb{R}.$$

Ответ

а) $$f(x)=2x+\cos x$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$; б) $$f(x)=x+\sin x$$ возрастает на $$\mathbb{R}.$$