Упр.5.51 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
- 5-51. Докажите, что функция $$f(x)$$ убывает на указанном промежутке, если:
а) $$f(x)=-3x+8,\quad x\in\mathbb{R}$$;
б) $$f(x)=kx+b,\quad k<0,\quad x\in\mathbb{R}$$;
в) $$f(x)=-x^2,\quad x\in[0;+\infty)$$;
г) $$f(x)=x^2,\quad x\in(-\infty;0]$$;
д) $$f(x)=\sin x,\quad x\in\left[\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]$$;
е) $$f(x)=\cos x,\quad x\in[0;\pi]$$;
ж) $$f(x)=(0{,}5)^x,\quad x\in\mathbb{R}$$;
з) $$f(x)=\log_{0{,}5}x,\quad x\in(0;+\infty)$$.
а) $$f(x)=-3x+8,$$ $$x\in \mathbb{R}.$$
$$f'(x)=-3<0.$$
Следовательно, функция $$f(x)$$ убывает на всей области определения.
б) $$f(x)=kx+l,\quad k<0,\quad x\in \mathbb{R}.$$
$$f'(x)=k<0.$$
Значит, функция $$f(x)$$ убывает на $$\mathbb{R}.$$
в) $$f(x)=-x^2,\quad x\in [0;+\infty).$$
$$f'(x)=-2x\le 0 \quad \text{при } x\in [0;+\infty).$$
Следовательно, функция $$f(x)$$ убывает на указанном промежутке.
г) $$f(x)=x^2,\quad x\in (-\infty;0].$$
$$f'(x)=2x\le 0 \quad \text{при } x\in (-\infty;0].$$
Значит, функция $$f(x)$$ убывает на $$(-\infty;0].$$
д) $$f(x)=\sin x,\quad x\in \left[\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right].$$
$$f'(x)=\cos x\le 0 \quad \text{при } x\in \left[\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right].$$
Следовательно, $$f(x)$$ убывает на этом промежутке.
е) $$f(x)=\cos x,\quad x\in [0;\pi].$$
$$f'(x)=-\sin x\le 0 \quad \text{при } x\in [0;\pi].$$
Значит, функция $$f(x)$$ убывает на $$[0;\pi].$$
ж) $$f(x)=(0{,}5)^x,\quad x\in \mathbb{R}.$$
$$f'(x)=(0{,}5)^x\ln 0{,}5<0,$$ так как $$0<0{,}5<1$$ и $$\ln 0{,}5<0.$$
Следовательно, функция $$f(x)$$ убывает на всей области определения.
з) $$f(x)=\log_{0{,}5}x,\quad x\in (0;+\infty).$$
$$f'(x)=\frac{1}{x\ln 0{,}5}<0 \quad \text{при } x>0.$$
Значит, функция $$f(x)$$ убывает на $$(0;+\infty).$$
Ответ
Во всех пунктах функция убывает на указанном промежутке.
