Упр.5.50 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
- Докажите, что функция возрастает на указанном промежутке, если:
а) $$f(x)=3x+4,\quad x\in\mathbb{R}$$;
б) $$f(x)=kx+l,\quad k>0,\quad x\in\mathbb{R}$$;
в) $$f(x)=x^2,\quad x\in[0;+\infty)$$;
г) $$f(x)=-x^2,\quad x\in(-\infty;0]$$;
д) $$f(x)=\sin x,\quad x\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$;
е) $$f(x)=\cos x,\quad x\in[\pi;2\pi]$$;
ж) $$f(x)=2^x,\quad x\in\mathbb{R}$$;
з) $$f(x)=\log_2 x,\quad x\in(0;+\infty)$$.
а) $$f(x)=3x+4,\quad x\in \mathbb{R}.$$
$$f'(x)=3>0$$
Следовательно, функция возрастает на всей области определения.
б) $$f(x)=kx+l,\quad k>0,\quad x\in \mathbb{R}.$$
$$f'(x)=k>0$$
Значит, функция возрастает на всей области определения.
в) $$f(x)=x^2,\quad x\in [0;+\infty).$$
$$f'(x)=2x\ge 0 \quad \text{при } x\in [0;+\infty)$$
Следовательно, функция возрастает на указанном промежутке.
г) $$f(x)=-x^2,\quad x\in (-\infty;0].$$
$$f'(x)=-2x\ge 0 \quad \text{при } x\in (-\infty;0]$$
Значит, функция возрастает на указанном промежутке.
д) $$f(x)=\sin x,\quad x\in \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right].$$
$$f'(x)=\cos x\ge 0 \quad \text{при } x\in \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$
Следовательно, функция возрастает на указанном промежутке.
е) $$f(x)=\cos x,\quad x\in [\pi;2\pi].$$
$$f'(x)=-\sin x\ge 0 \quad \text{при } x\in [\pi;2\pi]$$
Значит, функция возрастает на указанном промежутке.
ж) $$f(x)=2^x,\quad x\in \mathbb{R}.$$
$$f'(x)=2^x\ln 2>0$$
Следовательно, функция возрастает на всей области определения.
з) $$f(x)=\log_2 x,\quad x\in (0;+\infty).$$
$$f'(x)=\frac{1}{x\ln 2}>0 \quad \text{при } x\in (0;+\infty)$$
Значит, функция возрастает на всей области определения.
Ответ
Во всех пунктах функция возрастает на указанном промежутке.
