Упр.5.5 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
а) y= система
-x, если x < -1
x+2, если -1 < =x < 1
-3x+6,если x > =1;
б) y= система
-x+2, если x < -1
-3x,если -1 < =x < 1
x-4, если x > =1;
в) y= |x-1|+ |2x+1|;
г) y= |x-1| — |2x+1|.
а) $$y=\begin{cases} -x, & x<-1,\\ x+2, & -1\le x<1,\\ -3x+6, & x\ge 1. \end{cases}$$
На отрезке $$[-2;2]$$ проверим значения в концах отрезка и в точках смены формулы:
$$f(-2)=2,\quad f(-1)=1,\quad f(1)=3,\quad f(2)=0.$$
Следовательно, наибольшее значение функции равно $$3$$, наименьшее — $$0$$.
б) $$y=\begin{cases} -x+2, & x<-1,\\ -3x, & -1\le x<1,\\ x-4, & x\ge 1. \end{cases}$$
Проверим значения в концах отрезка и в точках разрыва формулы:
$$f(-2)=4,\quad f(-1)=3,\quad f(1)=-3,\quad f(2)=-2.$$
Значит, $$\max f(x)=4,$$ $$\min f(x)=-3.$$
в) $$y=|x-1|+|2x+1|.$$
Точки смены знака под модулем: $$x=1$$ и $$x=-\frac12.$$ На отрезке $$[-2;2]$$ достаточно проверить эти точки и концы отрезка:
$$f(-2)=|{-3}|+|{-3}|=6,$$
$$f\!\left(-\frac12\right)=\left|-\frac32\right|+0=\frac32,$$
$$f(1)=0+3=3,\quad f(2)=1+5=6.$$
Следовательно, $$\max f(x)=6,$$ $$\min f(x)=\frac32.$$
г) $$y=|x-1|-|2x+1|.$$
Снова рассматриваем точки $$x=1$$ и $$x=-\frac12$$, а также концы отрезка:
$$f(-2)=|{-3}|-|{-3}|=0,$$
$$f\!\left(-\frac12\right)=\left|-\frac32\right|-0=\frac32,$$
$$f(1)=0-3=-3,\quad f(2)=1-5=-4.$$
Значит, $$\max f(x)=\frac32,$$ $$\min f(x)=-4.$$
Ответ
а) $$\max f(x)=3,\ \min f(x)=0$$; б) $$\max f(x)=4,\ \min f(x)=-3$$; в) $$\max f(x)=6,\ \min f(x)=\frac32$$; г) $$\max f(x)=\frac32,\ \min f(x)=-4$$.
