Упр.5.48 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 5.48 Через две точки А и В графика функции у = х2, имеющие соответственно абсциссы а и b, проведена секущая АВ. Существует ли точка С графика функции с абсциссой с принадлежит (а; b), через которую можно провести касательную к графику этой функции, параллельную секущей АВ? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 nikol11 5-48 118

Подробный ответ

Для функции $$f(x)=x^2$$ на отрезке $$[a;b]$$ выполняются условия теоремы Лагранжа: функция непрерывна на $$[a;b]$$ и дифференцируема на $$\left(a;b\right)$$.

Значит, существует точка $$c\in\left(a;b\right)$$ такая, что

$$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Так как $$f'(x)=2x$$, то

$$2c=\frac{b^2-a^2}{b-a}=\frac{(b-a)(b+a)}{b-a}=a+b.$$

Отсюда

$$c=\frac{a+b}{2}.$$

Следовательно, такая точка $$C$$ существует. Её абсцисса равна $$\frac{a+b}{2}$$, а ордината

$$y=c^2=\left(\frac{a+b}{2}\right)^2=\frac{(a+b)^2}{4}.$$