Упр.5.47 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
а) f(x) = х3, а = -1, b = 2;
б) f(x) = х3, а = -2, b=1;
в) f(x) = корень 3 степени х, а = 0, b = 27;
г) f(x) = корень 3 степени х, а = -27, b = 0.
а) $$f(x)=x^3,\quad a=-1,\quad b=2$$
$$f'(x)=3x^2$$
По формуле Лагранжа:
$$f'(c)=\frac{f(2)-f(-1)}{2-(-1)}$$
$$f(-1)=-1,\quad f(2)=8$$
$$3c^2=\frac{8-(-1)}{3}=3$$
$$c^2=1,\quad c=\pm 1$$
Так как $$c\in(-1;2),$$ то подходит только $$c=1.$$
б) $$f(x)=x^3,\quad a=-2,\quad b=1$$
$$f'(x)=3x^2$$
$$f'(c)=\frac{f(1)-f(-2)}{1-(-2)}$$
$$f(-2)=-8,\quad f(1)=1$$
$$3c^2=\frac{1-(-8)}{3}=3$$
$$c^2=1,\quad c=\pm 1$$
Так как $$c\in(-2;1),$$ то подходит только $$c=-1.$$
в) $$f(x)=\sqrt[3]{x},\quad a=0,\quad b=27$$
$$f'(x)=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$$
$$f'(c)=\frac{f(27)-f(0)}{27-0}$$
$$f(0)=0,\quad f(27)=3$$
$$\frac{1}{3\sqrt[3]{c^2}}=\frac{3}{27}=\frac{1}{9}$$
$$3\sqrt[3]{c^2}=9,\quad \sqrt[3]{c^2}=3$$
$$c^2=27,\quad c=\pm 3\sqrt{3}$$
Так как $$c\in(0;27),$$ то подходит только $$c=3\sqrt{3}.$$
г) $$f(x)=\sqrt[3]{x},\quad a=-27,\quad b=0$$
$$f'(x)=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$$
$$f'(c)=\frac{f(0)-f(-27)}{0-(-27)}$$
$$f(-27)=-3,\quad f(0)=0$$
$$\frac{1}{3\sqrt[3]{c^2}}=\frac{0-(-3)}{27}=\frac{1}{9}$$
$$3\sqrt[3]{c^2}=9,\quad \sqrt[3]{c^2}=3$$
$$c^2=27,\quad c=\pm 3\sqrt{3}$$
Так как $$c\in(-27;0),$$ то подходит только $$c=-3\sqrt{3}.$$
Ответ
а) $$1$$; б) $$-1$$; в) $$3\sqrt{3}$$; г) $$-3\sqrt{3}$$.
