Упр.5.45 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) f(x) = -х3 + Зх, [-1; 2]; б) f(x) = х3 + 3х2, [-3; 0].

1. а) $$f(x)=-x^3+3x,\quad [-1;2].$$

   Функция $$f(x)$$ — многочлен, значит, она непрерывна на $$[-1;2]$$ и дифференцируема на $$(-1;2)$$.

   Найдём значения на концах отрезка:

   $$f(-1)=-(-1)^3+3\cdot(-1)=1-3=-2,$$

   $$f(2)=-2^3+3\cdot2=-8+6=-2.$$

   Так как $$f(-1)=f(2),$$ то по теореме Ролля существует точка $$c\in(-1;2),$$ такая, что $$f'(c)=0.$$

2. б) $$f(x)=x^3+3x^2,\quad [-3;0].$$

   Функция $$f(x)$$ — многочлен, значит, она непрерывна на $$[-3;0]$$ и дифференцируема на $$(-3;0)$$.

   Найдём значения на концах отрезка:

   $$f(-3)=(-3)^3+3\cdot(-3)^2=-27+27=0,$$

   $$f(0)=0^3+3\cdot0^2=0.$$

   Следовательно, $$f(-3)=f(0),$$ значит, по теореме Ролля существует точка $$c\in(-3;0),$$ в которой $$f'(c)=0.$$

Ответ

В обоих случаях по теореме Ролля внутри указанного отрезка найдётся точка, в которой производная равна нулю.