Упр.5.43 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

• а) $$\operatorname{tg}47^\circ$$; б) $$\operatorname{tg}2^\circ$$; в) $$\operatorname{ctg}46^\circ$$; г) $$\operatorname{ctg}88^\circ$$.

Используем формулы приближённого вычисления:

$$f(x+\Delta x)\approx f(x)+f'(x)\Delta x.$$

Для $$f(x)=\tg x$$ имеем

$$f'(x)=\frac{1}{\cos^2 x}.$$

Для $$f(x)=\ctg x$$ имеем

$$f'(x)=-\frac{1}{\sin^2 x}.$$

1. $$\tg 47^\circ \approx \tg 45^\circ+\frac{1}{\cos^2 45^\circ}\cdot 2^\circ.$$

   Так как $$\tg 45^\circ=1,$$ $$\cos 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2},$$ а $$2^\circ=\frac{2\pi}{180}\approx 0{,}035,$$ то

   $$\tg 47^\circ \approx 1+\frac{1}{\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2}\cdot 0{,}035 =1+2\cdot 0{,}035 =1{,}07.$$

2. $$\tg 2^\circ \approx \tg 0^\circ+\frac{1}{\cos^2 0^\circ}\cdot 2^\circ.$$

   Так как $$\tg 0^\circ=0,$$ $$\cos 0^\circ=1,$$ то

   $$\tg 2^\circ \approx 0+1\cdot 0{,}035=0{,}035.$$

3. $$\ctg 46^\circ \approx \ctg 45^\circ-\frac{1}{\sin^2 45^\circ}\cdot 1^\circ.$$

   Так как $$\ctg 45^\circ=1,$$ $$\sin 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2},$$ а $$1^\circ=\frac{\pi}{180}\approx 0{,}0175,$$ то

   $$\ctg 46^\circ \approx 1-\frac{1}{\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2}\cdot 0{,}0175 =1-2\cdot 0{,}0175 =0{,}965.$$

4. $$\ctg 88^\circ \approx \ctg 90^\circ-\frac{1}{\sin^2 90^\circ}\cdot (-2^\circ).$$

   Так как $$\ctg 90^\circ=0,$$ $$\sin 90^\circ=1,$$ то

   $$\ctg 88^\circ \approx 0+1\cdot 0{,}035=0{,}035.$$

Ответ

$$\tg 47^\circ \approx 1{,}07,\quad \tg 2^\circ \approx 0{,}035,\quad \ctg 46^\circ \approx 0{,}965,\quad \ctg 88^\circ \approx 0{,}035.$$