Упр.5.41 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

(1 + дельта х)n = 1 + n дельта х.
Вычислите приближенно с помощью этой формулы:
а) (1,001)100;
б) (0,998)100;
в) (1,003)25;
г) (0,9997)25;
д) (1000/1001)10;
е) (1000/998)15;
ж) (1000/1003)20;
з) (10 000/9997)35.

Используем формулу приближённого вычисления степени числа, близкого к 1:

$$\left(1+\Delta x\right)^n \approx 1+n\Delta x.$$

Она получается из формулы $$f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x$$ при $$f(x)=x^n$$, $$x_0=1$$. Тогда

$$f(1+\Delta x)\approx f(1)+f'(1)\Delta x=1+n\Delta x.$$

Вычислим приближённо:

1. $$\left(1{,}001\right)^{100}=\left(1+0{,}001\right)^{100}\approx 1+100\cdot 0{,}001=1{,}1.$$

2. $$\left(0{,}998\right)^{100}=\left(1-0{,}002\right)^{100}\approx 1-100\cdot 0{,}002=0{,}8.$$

3. $$\left(1{,}003\right)^{25}=\left(1+0{,}003\right)^{25}\approx 1+25\cdot 0{,}003=1{,}075.$$

4. $$\left(0{,}9997\right)^{25}=\left(1-0{,}0003\right)^{25}\approx 1-25\cdot 0{,}0003=0{,}9925.$$

5. $$\left(\frac{1000}{1001}\right)^{10}=\left(1-\frac{1}{1001}\right)^{10}\approx 1-10\cdot \frac{1}{1001}\approx 0{,}99.$$

6. $$\left(\frac{1000}{998}\right)^{15}=\left(1+\frac{2}{998}\right)^{15}\approx 1+15\cdot \frac{2}{998}\approx 1{,}03.$$

7. $$\left(\frac{1000}{1003}\right)^{20}=\left(1-\frac{3}{1003}\right)^{20}\approx 1-20\cdot \frac{3}{1003}\approx 0{,}94.$$

8. $$\left(\frac{10000}{9997}\right)^{35}=\left(1+\frac{3}{9997}\right)^{35}\approx 1+35\cdot \frac{3}{9997}\approx 1{,}01.$$

Ответ

$$\left(1{,}001\right)^{100}\approx 1{,}1,\quad \left(0{,}998\right)^{100}\approx 0{,}8,\quad \left(1{,}003\right)^{25}\approx 1{,}075,\quad \left(0{,}9997\right)^{25}\approx 0{,}9925,$$

$$\left(\frac{1000}{1001}\right)^{10}\approx 0{,}99,\quad \left(\frac{1000}{998}\right)^{15}\approx 1{,}03,\quad \left(\frac{1000}{1003}\right)^{20}\approx 0{,}94,\quad \left(\frac{10000}{9997}\right)^{35}\approx 1{,}01.$$