Упр.5.40 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

корень (1+дельта x)= 1+1 дельта x/2
Вычислите приближенно с помощью этой формулы: a) корень 1,01; б) корень 1,02; в) корень 0,99; г) корень 0,98.

Рассмотрим функцию $$f(x)=\sqrt{x}.$$ Тогда

$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$$

По формуле приближённого вычисления

$$f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x$$

при $$x_0=1$$ получаем

$$\sqrt{1+\Delta x}\approx \sqrt{1}+\frac{1}{2\sqrt{1}}\Delta x=1+\frac{1}{2}\Delta x.$$

Теперь вычислим приближённо:

$$ \sqrt{1,01}=\sqrt{1+0,01}\approx 1+\frac{1}{2}\cdot 0,01=1,005 $$

$$ \sqrt{1,02}=\sqrt{1+0,02}\approx 1+\frac{1}{2}\cdot 0,02=1,01 $$

$$ \sqrt{0,99}=\sqrt{1-0,01}\approx 1+\frac{1}{2}\cdot(-0,01)=0,995 $$

$$ \sqrt{0,98}=\sqrt{1-0,02}\approx 1+\frac{1}{2}\cdot(-0,02)=0,99 $$

Ответ

$$\sqrt{1+\Delta x}\approx 1+\frac{1}{2}\Delta x,$$
$$\sqrt{1,01}\approx 1,005,\quad \sqrt{1,02}\approx 1,01,\quad \sqrt{0,99}\approx 0,995,\quad \sqrt{0,98}\approx 0,99.$$