Упр.5.40 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Покажите, как из формулы (2) следует формула для приближённого вычисления квадратного корня из числа, близкого к 1:
   $$\sqrt{1+\Delta x}\approx 1+\frac{\Delta x}{2}$$
   Вычислите приближённо с помощью этой формулы: а) $$\sqrt{1{,}01}$$; б) $$\sqrt{1{,}02}$$; в) $$\sqrt{0{,}99}$$; г) $$\sqrt{0{,}98}$$.

Рассмотрим функцию $$f(x)=\sqrt{x}.$$ Тогда

$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$$

По формуле приближённого вычисления

$$f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x$$

при $$x_0=1$$ получаем

$$\sqrt{1+\Delta x}\approx \sqrt{1}+\frac{1}{2\sqrt{1}}\Delta x=1+\frac{1}{2}\Delta x.$$

Теперь вычислим приближённо:

$$\sqrt{1,01}=\sqrt{1+0,01}\approx 1+\frac{1}{2}\cdot 0,01=1,005$$

$$\sqrt{1,02}=\sqrt{1+0,02}\approx 1+\frac{1}{2}\cdot 0,02=1,01$$

$$\sqrt{0,99}=\sqrt{1-0,01}\approx 1+\frac{1}{2}\cdot(-0,01)=0,995$$

$$\sqrt{0,98}=\sqrt{1-0,02}\approx 1+\frac{1}{2}\cdot(-0,02)=0,99$$

Ответ

$$\sqrt{1+\Delta x}\approx 1+\frac{1}{2}\Delta x,$$
$$\sqrt{1,01}\approx 1,005,\quad \sqrt{1,02}\approx 1,01,\quad \sqrt{0,99}\approx 0,995,\quad \sqrt{0,98}\approx 0,99.$$