Упр.5.38 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. 5-38. Вычислите приближённо $$f(x_0+\delta x)$$, если:
   а) $$f(x)=x^2,\quad x_0=5,\quad \delta x=0{,}01$$;
   б) $$f(x)=x^3,\quad x_0=3,\quad \delta x=-0{,}01$$;
   в) $$f(x)=4x,\quad x_0=16,\quad \delta x=0{,}02$$;
   г) $$f(x)=\ln x,\quad x_0=e,\quad \delta x=0{,}01$$;
   д) $$f(x)=2x,\quad x_0=2,\quad \delta x=-0{,}02$$.

Используем приближённую формулу:

$$f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x.$$

1. $$f(x)=x^2,\quad x_0=5,\quad \Delta x=0{,}01.$$

   $$f(5)=25,\qquad f'(x)=2x,\qquad f'(5)=10.$$

   $$f(5{,}01)\approx 25+10\cdot 0{,}01=25{,}1.$$

2. $$f(x)=x^3,\quad x_0=3,\quad \Delta x=-0{,}01.$$

   $$f(3)=27,\qquad f'(x)=3x^2,\qquad f'(3)=27.$$

   $$f(2{,}99)\approx 27+27\cdot(-0{,}01)=26{,}73.$$

3. $$f(x)=\sqrt{x},\quad x_0=16,\quad \Delta x=0{,}02.$$

   $$f(16)=4,\qquad f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}},\qquad f'(16)=\frac18=0{,}125.$$

   $$f(16{,}02)\approx 4+0{,}125\cdot 0{,}02=4{,}0025.$$

4. $$f(x)=\ln x,\quad x_0=e,\quad \Delta x=0{,}01.$$

   $$f(e)=\ln e=1,\qquad f'(x)=\frac1x,\qquad f'(e)=\frac1e.$$

   $$f(e+0{,}01)\approx 1+\frac{0{,}01}{e}\approx 1{,}004.$$

5. $$f(x)=2^x,\quad x_0=2,\quad \Delta x=-0{,}02.$$

   $$f(2)=4,\qquad f'(x)=2^x\ln 2,\qquad f'(2)=4\ln 2.$$

   $$f(1{,}98)\approx 4+4\ln 2\cdot(-0{,}02)\approx 3{,}94.$$

Ответ

а) $$25{,}1$$; б) $$26{,}73$$; в) $$4{,}0025$$; г) $$1{,}004$$; д) $$3{,}94$$.