Упр.5.35 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Напишите уравнение общей касательной к графикам функций $$f(x)=x^2-2x+1$$ и $$\varphi(x)=-x^2+4x-8$$. Найдите два способа решения задачи.

Найдём общую касательную в виде $$y=kx+b.$$

Для параболы $$f(x)=x^2-2x+1$$ условие касания даёт уравнение

$$x^2-2x+1=kx+b,$$

а для параболы $$\varphi(x)=-x^2+4x-8$$ —

$$-x^2+4x-8=kx+b.$$

Чтобы прямая была касательной к каждой из парабол, каждое из этих квадратных уравнений должно иметь единственный корень, то есть их дискриминанты равны нулю:

$$D_1=(2+k)^2-4(1-b)=0,$$

$$D_2=(4-k)^2-4(8+b)=0.$$

Получаем систему:

$$\begin{cases} (2+k)^2-4(1-b)=0,\\ (4-k)^2-4(8+b)=0. \end{cases}$$

Раскроем скобки:

$$\begin{cases} k^2+4k+4-4+4b=0,\\ k^2-8k+16-32-4b=0. \end{cases}$$

То есть

$$\begin{cases} k^2+4k+4b=0,\\ k^2-8k-16-4b=0. \end{cases}$$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$12k+16+8b=0,$$

$$3k+4+2b=0.$$

Подставим, например, из первого уравнения $$4b=-k^2-4k$$ во второе и получим два решения:

$$k=-2,\quad b=1,$$

$$k=4,\quad b=-8.$$

Следовательно, общие касательные:

$$y=-2x+1,$$

$$y=4x-8.$$

Проверим вторым способом. Для касания в точке абсциссы $$x_0$$ у параболы $$y=f(x)$$ касательная имеет вид

$$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0).$$

Здесь

$$f'(x)=2x-2,\qquad \varphi'(x)=-2x+4.$$

Пусть одна и та же прямая касается обеих парабол в точках $$x_0$$ и $$x_1$$. Тогда её угловые коэффициенты равны:

$$2x_0-2=-2x_1+4,$$

откуда

$$x_0+x_1=3.$$

Свободные члены тоже равны:

$$-f'(x_0)x_0+f(x_0)=-\varphi'(x_1)x_1+\varphi(x_1).$$

После подстановки получаем

$$x_0^2+x_1^2=9.$$

Решая систему

$$\begin{cases} x_0+x_1=3,\\ x_0^2+x_1^2=9, \end{cases}$$

находим

$$x_0=0,\ x_1=3 \quad \text{или} \quad x_0=3,\ x_1=0.$$

Тогда:

при $$x_0=0$$ имеем $$f(0)=1,\ f'(0)=-2,$$ значит

$$y-1=-2(x-0),\qquad y=-2x+1;$$

при $$x_0=3$$ имеем $$f(3)=4,\ f'(3)=4,$$ значит

$$y-4=4(x-3),\qquad y=4x-8.$$

Ответ

$$y=-2x+1,\qquad y=4x-8.$$