Упр.5.32 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) у = х2 + х — 2;
б) у = 5х2 + 4х — 9;
в) у = 2×3 — 12×2 + х — 6;
г) у = x3 + 6х2 + 5х?

Подробный ответ

а) $$y=x^2+x-2$$
Точки пересечения с осью $$Ox$$ найдём из уравнения
$$x^2+x-2=0$$
$$\left(x+2\right)\left(x-1\right)=0$$
$$x_1=-2,\quad x_2=1$$
Производная:
$$f'(x)=2x+1$$
$$f'(1)=3,\quad f'(-2)=-3$$
В точке $$x=1$$ угол пересечения с осью $$Ox$$ равен $$\arctg 3$$.
В точке $$x=-2$$ производная отрицательна, поэтому угол пересечения — смежный с углом $$\arctg 3$$, то есть
$$\pi-\arctg 3$$
б) $$y=5x^2+4x-9$$
Найдём точки пересечения с осью $$Ox$$:
$$5x^2+4x-9=0$$
$$D=4^2-4\cdot 5\cdot(-9)=16+180=196$$
$$x=\frac{-4\pm 14}{10}$$
$$x_1=1,\quad x_2=-\frac95$$
Производная:
$$f'(x)=10x+4$$
$$f'(1)=14,\quad f’\!\left(-\frac95\right)=-14$$
Следовательно, в точке $$x=1$$ угол равен $$\arctg 14$$, а в точке $$x=-\frac95$$ — $$\pi-\arctg 14$$.
в) $$y=2x^3-12x^2+x-6$$
Точки пересечения с осью $$Ox$$:
$$2x^3-12x^2+x-6=0$$
$$2x^2(x-6)+(x-6)=0$$
$$\left(x-6\right)\left(2x^2+1\right)=0$$
$$x=6$$
Производная:
$$f'(x)=6x^2-24x+1$$
$$f'(6)=6\cdot 6^2-24\cdot 6+1=73$$
Угол пересечения:
$$\arctg 73$$
г) $$y=x^3+6x^2+5x$$
Точки пересечения с осью $$Ox$$:
$$x^3+6x^2+5x=0$$
$$x\left(x^2+6x+5\right)=0$$
$$x\left(x+1\right)\left(x+5\right)=0$$
$$x=0,\quad x=-1,\quad x=-5$$
Производная:
$$f'(x)=3x^2+12x+5$$
$$f'(0)=5,\quad f'(-1)=-4,\quad f'(-5)=20$$
Значит, углы пересечения равны:
в точке $$x=0$$ — $$\arctg 5$$,
в точке $$x=-1$$ — $$\pi-\arctg 4$$,
в точке $$x=-5$$ — $$\arctg 20$$.