Упр.5.30 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

б) f(x) = —4/корень x, x0 = 2;
в) f(x) = sin пиx/2 + ln (2 — x), x0 = 1;
г) f(x) = cos пиx — e^(1-x), x0 = 1.

Подробный ответ

а) $$f(x)=\frac{8}{\sqrt{x}}, \quad x_0=4.$$
Найдём производную:
$$f(x)=8x^{-\frac12}, \quad f'(x)=8\cdot\left(-\frac12\right)x^{-\frac32}=-\frac{4}{x\sqrt{x}}.$$
Вычислим значения функции и производной в точке $$x_0=4$$:
$$f(4)=\frac{8}{\sqrt{4}}=4, \quad f'(4)=-\frac{4}{4\sqrt{4}}=-\frac12.$$
Уравнение касательной:
$$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0).$$
Подставим:
$$y-4=-\frac12(x-4).$$
$$y=-\frac12x+6.$$
б) $$f(x)=-\frac{4}{\sqrt{x}}, \quad x_0=2.$$
Найдём производную:
$$f(x)=-4x^{-\frac12}, \quad f'(x)=-4\cdot\left(-\frac12\right)x^{-\frac32}=\frac{2}{x\sqrt{x}}.$$
Вычислим значения функции и производной в точке $$x_0=2$$:
$$f(2)=-\frac{4}{\sqrt{2}}=-2\sqrt{2}, \quad f'(2)=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.$$
Уравнение касательной:
$$y+2\sqrt{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}(x-2).$$
$$y=\frac{1}{\sqrt{2}}x-3\sqrt{2}.$$
в) $$f(x)=\sin\frac{\pi x}{2}+\ln(2-x), \quad x_0=1.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi x}{2}-\frac{1}{2-x}.$$
Вычислим значения в точке $$x_0=1$$:
$$f(1)=\sin\frac{\pi}{2}+\ln 1=1,$$
$$f'(1)=\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2-1}=0-1=-1.$$
Уравнение касательной:
$$y-1=-1(x-1).$$
$$y=-x+2.$$
г) $$f(x)=\cos(\pi x)-e^{1-x}, \quad x_0=1.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-\pi\sin(\pi x)+e^{1-x}.$$
Вычислим значения в точке $$x_0=1$$:
$$f(1)=\cos\pi-e^{0}=-1-1=-2,$$
$$f'(1)=-\pi\sin\pi+e^{0}=0+1=1.$$
Уравнение касательной:
$$y+2=1(x-1).$$
$$y=x-3.$$