Упр.5.29 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

$$f(x)=e^x$$

• а) $$x_0=-2$$;
• б) $$x_0=-1$$;
• в) $$x_0=0$$;
• г) $$x_0=2$$.

Для функции $$f(x)=e^x$$ производная равна

$$f'(x)=e^x.$$

Уравнение касательной в точке $$x_0$$ имеет вид

$$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0).$$

1. При $$x_0=-2$$:

   $$f(-2)=e^{-2}=\frac{1}{e^2}, \qquad f'(-2)=e^{-2}=\frac{1}{e^2}.$$

   Тогда

   $$y-\frac{1}{e^2}=\frac{1}{e^2}(x+2),$$

   откуда

   $$y=\frac{1}{e^2}(x+3).$$

2. При $$x_0=-1$$:

   $$f(-1)=e^{-1}=\frac{1}{e}, \qquad f'(-1)=e^{-1}=\frac{1}{e}.$$

   Тогда

   $$y-\frac{1}{e}=\frac{1}{e}(x+1),$$

   откуда

   $$y=\frac{1}{e}(x+2).$$

3. При $$x_0=0$$:

   $$f(0)=1, \qquad f'(0)=1.$$

   Тогда

   $$y-1=x,$$

   откуда

   $$y=x+1.$$

4. При $$x_0=2$$:

   $$f(2)=e^2, \qquad f'(2)=e^2.$$

   Тогда

   $$y-e^2=e^2(x-2),$$

   откуда

   $$y=e^2(x-1).$$

Ответ

а) $$y=\frac{1}{e^2}(x+3)$$; б) $$y=\frac{1}{e}(x+2)$$; в) $$y=x+1$$; г) $$y=e^2(x-1)$$.