Упр.5.28 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

$$f(x)=2x$$

а) $$x_0=-1$$; б) $$x_0=$$; в) $$x_0=2$$; г) $$x_0=3$$.

Для функции $$f(x)=2^x$$ найдём производную:

$$f'(x)=2^x\ln 2.$$

Уравнение касательной в точке $$x_0$$ имеет вид:

$$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0).$$

1. $$x_0=-1$$

   $$f(-1)=2^{-1}=\frac12,\qquad f'(-1)=\frac12\ln 2.$$

   Тогда

   $$y-\frac12=\frac12\ln 2\,(x+1).$$

   $$y=\frac12\ln 2\,x+\frac12(\ln 2+1).$$

2. $$x_0=0$$

   $$f(0)=1,\qquad f'(0)=\ln 2.$$

   Тогда

   $$y-1=\ln 2\cdot x,$$

   $$y=x\ln 2+1.$$

3. $$x_0=2$$

   $$f(2)=4,\qquad f'(2)=4\ln 2.$$

   Тогда

   $$y-4=4\ln 2\,(x-2),$$

   $$y=4x\ln 2-8\ln 2+4.$$

4. $$x_0=3$$

   $$f(3)=8,\qquad f'(3)=8\ln 2.$$

   Тогда

   $$y-8=8\ln 2\,(x-3),$$

   $$y=8x\ln 2-24\ln 2+8.$$

Ответ

а) $$y=\frac12\ln 2\,x+\frac12(\ln 2+1)$$;

б) $$y=x\ln 2+1$$;

в) $$y=4x\ln 2-8\ln 2+4$$;

г) $$y=8x\ln 2-24\ln 2+8$$.