Упр.5.27 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) х0 = 1; б) х0 = 2; в) x0 = 4; г) х0 = 8.

Для функции $$f(x)=\log_2 x$$ найдём производную:

$$f'(x)=\frac{1}{x\ln 2}.$$

Уравнение касательной в точке $$x_0$$ имеет вид:

$$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0).$$

1. При $$x_0=1$$:

   $$f(1)=0,\qquad f'(1)=\frac{1}{\ln 2}.$$

   Тогда

   $$y-0=\frac{1}{\ln 2}(x-1),$$

   откуда

   $$y=\frac{1}{\ln 2}x-\frac{1}{\ln 2}.$$

2. При $$x_0=2$$:

   $$f(2)=1,\qquad f'(2)=\frac{1}{2\ln 2}.$$

   Тогда

   $$y-1=\frac{1}{2\ln 2}(x-2),$$

   откуда

   $$y=\frac{1}{2\ln 2}x-\frac{1}{\ln 2}+1.$$

3. При $$x_0=4$$:

   $$f(4)=2,\qquad f'(4)=\frac{1}{4\ln 2}.$$

   Тогда

   $$y-2=\frac{1}{4\ln 2}(x-4),$$

   откуда

   $$y=\frac{1}{4\ln 2}x-\frac{1}{\ln 2}+2.$$

4. При $$x_0=8$$:

   $$f(8)=3,\qquad f'(8)=\frac{1}{8\ln 2}.$$

   Тогда

   $$y-3=\frac{1}{8\ln 2}(x-8),$$

   откуда

   $$y=\frac{1}{8\ln 2}x-\frac{1}{\ln 2}+3.$$

Ответ

а) $$y=\frac{1}{\ln 2}x-\frac{1}{\ln 2}$$;

б) $$y=\frac{1}{2\ln 2}x-\frac{1}{\ln 2}+1$$;

в) $$y=\frac{1}{4\ln 2}x-\frac{1}{\ln 2}+2$$;

г) $$y=\frac{1}{8\ln 2}x-\frac{1}{\ln 2}+3$$.