Упр.5.26 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) х0 = 1; б) х0 = 2; в) х0 = 3; г) x0 = e.

Для функции $$f(x)=\ln x$$ найдём производную:

$$f'(x)=\frac{1}{x}.$$

Уравнение касательной в точке $$x_0$$ имеет вид:

$$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0).$$

1. При $$x_0=1$$:

   $$f(1)=\ln 1=0,\quad f'(1)=1.$$

   $$y-0=1(x-1),$$

   $$y=x-1.$$

2. При $$x_0=2$$:

   $$f(2)=\ln 2,\quad f'(2)=\frac12.$$

   $$y-\ln 2=\frac12(x-2),$$

   $$y=\frac12x-1+\ln 2.$$

3. При $$x_0=3$$:

   $$f(3)=\ln 3,\quad f'(3)=\frac13.$$

   $$y-\ln 3=\frac13(x-3),$$

   $$y=\frac13x-1+\ln 3.$$

4. При $$x_0=e$$:

   $$f(e)=\ln e=1,\quad f'(e)=\frac1e.$$

   $$y-1=\frac1e(x-e),$$

   $$y=\frac1e x.$$

Ответ

а) $$y=x-1$$; б) $$y=\frac12x-1+\ln 2$$; в) $$y=\frac13x-1+\ln 3$$; г) $$y=\frac1e x$$.