Упр.5.25 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) х0 = пи/2; б) x0=-пи/2; в) x0=пи/4; г) x0=-пи/6.

Найдём уравнения касательных к графику функции $$f(x)=\ctg x$$ в указанных точках.

Производная:

$$f'(x)=-\frac{1}{\sin^2 x}.$$

Уравнение касательной в точке $$x_0$$:

$$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0).$$

1. $$x_0=\frac{\pi}{2}$$

   $$f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\ctg\frac{\pi}{2}=0,$$

   $$f’\left(\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{1}{\sin^2\frac{\pi}{2}}=-1.$$

   Тогда

   $$y-0=-1\left(x-\frac{\pi}{2}\right),$$

   $$y=-x+\frac{\pi}{2}.$$

2. $$x_0=-\frac{\pi}{2}$$

   $$f\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\ctg\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0,$$

   $$f’\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{1}{\sin^2\left(-\frac{\pi}{2}\right)}=-1.$$

   Тогда

   $$y-0=-1\left(x+\frac{\pi}{2}\right),$$

   $$y=-x-\frac{\pi}{2}.$$

3. $$x_0=\frac{\pi}{4}$$

   $$f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\ctg\frac{\pi}{4}=1,$$

   $$f’\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{1}{\sin^2\frac{\pi}{4}}=-2.$$

   Тогда

   $$y-1=-2\left(x-\frac{\pi}{4}\right),$$

   $$y=-2x+\frac{\pi}{2}+1.$$

4. $$x_0=-\frac{\pi}{6}$$

   $$f\left(-\frac{\pi}{6}\right)=\ctg\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\sqrt{3},$$

   $$f’\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{\sin^2\left(-\frac{\pi}{6}\right)}=-4.$$

   Тогда

   $$y+\sqrt{3}=-4\left(x+\frac{\pi}{6}\right),$$

   $$y=-4x-\frac{2\pi}{3}-\sqrt{3}.$$

Ответ

а) $$y=-x+\frac{\pi}{2}$$; б) $$y=-x-\frac{\pi}{2}$$; в) $$y=-2x+\frac{\pi}{2}+1$$; г) $$y=-4x-\frac{2\pi}{3}-\sqrt{3}$$.