Упр.5.24 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) х0 = 0; б) x0=пи/4; в) x0=-пи/4; г) x0=пи/6.

Для функции $$f(x)=\tg x$$ найдём производную:

$$f'(x)=\frac{1}{\cos^2 x}.$$

Уравнение касательной в точке $$x_0$$:

$$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0).$$

1. При $$x_0=0$$:

   $$f(0)=0,\quad f'(0)=1.$$

   $$y-0=1(x-0),$$

   $$y=x.$$

2. При $$x_0=\frac{\pi}{4}$$:

   $$f\left(\frac{\pi}{4}\right)=1,\quad f’\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\cos^2 \frac{\pi}{4}}=2.$$

   $$y-1=2\left(x-\frac{\pi}{4}\right),$$

   $$y=2x-\frac{\pi}{2}+1.$$

3. При $$x_0=-\frac{\pi}{4}$$:

   $$f\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1,\quad f’\left(-\frac{\pi}{4}\right)=2.$$

   $$y+1=2\left(x+\frac{\pi}{4}\right),$$

   $$y=2x+\frac{\pi}{2}-1.$$

4. При $$x_0=\frac{\pi}{6}$$:

   $$f\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}},\quad f’\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{\cos^2 \frac{\pi}{6}}=\frac{4}{3}.$$

   $$y-\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{4}{3}\left(x-\frac{\pi}{6}\right),$$

   $$y=\frac{4}{3}x-\frac{2\pi}{9}+\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Ответ

а) $$y=x$$; б) $$y=2x-\frac{\pi}{2}+1$$; в) $$y=2x+\frac{\pi}{2}-1$$; г) $$y=\frac{4}{3}x-\frac{2\pi}{9}+\frac{1}{\sqrt{3}}$$.