Упр.5.16 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) равно 4,5; б) равно 3,5; в) достигается в двух точках?

Рассмотрим функцию $$y=|x-a|$$ на отрезке $$[-2;3]$$. Это график с вершиной в точке $$x=a$$, поэтому на отрезке наибольшее значение достигается в одном из концов отрезка: при $$x=-2$$ или при $$x=3$$.

а) Пусть наибольшее значение равно $$4{,}5$$. Тогда

$$ |-2-a|=4{,}5 \quad \text{или} \quad |3-a|=4{,}5. $$

1) $$|-2-a|=4{,}5$$, то есть

$$ |a+2|=4{,}5. $$

Так как максимум должен достигаться на отрезке, берём случай, когда вершина лежит внутри отрезка и значение в левом конце равно $$4{,}5$$:

$$ a+2=4{,}5 \Rightarrow a=2{,}5. $$

2) $$|3-a|=4{,}5$$, то есть

$$ 3-a=4{,}5 \Rightarrow a=-1{,}5. $$

Значит, при $$a=2{,}5$$ или $$a=-1{,}5$$ наибольшее значение функции равно $$4{,}5$$.

б) Пусть наибольшее значение равно $$3{,}5$$. Тогда аналогично:

$$ |-2-a|=3{,}5 \quad \text{или} \quad |3-a|=3{,}5. $$

Получаем:

$$ a+2=3{,}5 \Rightarrow a=1{,}5, $$

или

$$ 3-a=3{,}5 \Rightarrow a=-0{,}5. $$

Значит, при $$a=1{,}5$$ или $$a=-0{,}5$$ наибольшее значение функции равно $$3{,}5$$.

в) Чтобы наибольшее значение достигалось в двух точках, значения на концах отрезка должны быть равны:

$$ |-2-a|=|3-a|. $$

Это возможно, когда $$a$$ — середина отрезка $$[-2;3]$$:

$$ a=\frac{-2+3}{2}=0{,}5. $$

Тогда максимум достигается в двух точках: при $$x=-2$$ и $$x=3$$.

Ответ

а) $$a=-1{,}5$$ или $$a=2{,}5$$; б) $$a=-0{,}5$$ или $$a=1{,}5$$; в) $$a=0{,}5$$.