Упр.5.16 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

При каком значении $$a$$ наибольшее значение функции $$y=|x-a|$$ на отрезке $$[-2; 3]$$:

а) равно $$4{,}5$$;

б) равно $$3{,}5$$;

в) достигается в двух точках?

Рассмотрим функцию $$y=|x-a|$$ на отрезке $$[-2;3]$$. Это график с вершиной в точке $$x=a$$, поэтому на отрезке наибольшее значение достигается в одном из концов отрезка: при $$x=-2$$ или при $$x=3$$.

а) Пусть наибольшее значение равно $$4{,}5$$. Тогда

$$|-2-a|=4{,}5 \quad \text{или} \quad |3-a|=4{,}5.$$

1) $$|-2-a|=4{,}5$$, то есть

$$|a+2|=4{,}5.$$

Так как максимум должен достигаться на отрезке, берём случай, когда вершина лежит внутри отрезка и значение в левом конце равно $$4{,}5$$:

$$a+2=4{,}5 \Rightarrow a=2{,}5.$$

2) $$|3-a|=4{,}5$$, то есть

$$3-a=4{,}5 \Rightarrow a=-1{,}5.$$

Значит, при $$a=2{,}5$$ или $$a=-1{,}5$$ наибольшее значение функции равно $$4{,}5$$.

б) Пусть наибольшее значение равно $$3{,}5$$. Тогда аналогично:

$$|-2-a|=3{,}5 \quad \text{или} \quad |3-a|=3{,}5.$$

Получаем:

$$a+2=3{,}5 \Rightarrow a=1{,}5,$$

или

$$3-a=3{,}5 \Rightarrow a=-0{,}5.$$

Значит, при $$a=1{,}5$$ или $$a=-0{,}5$$ наибольшее значение функции равно $$3{,}5$$.

в) Чтобы наибольшее значение достигалось в двух точках, значения на концах отрезка должны быть равны:

$$|-2-a|=|3-a|.$$

Это возможно, когда $$a$$ — середина отрезка $$[-2;3]$$:

$$a=\frac{-2+3}{2}=0{,}5.$$

Тогда максимум достигается в двух точках: при $$x=-2$$ и $$x=3$$.

Ответ

а) $$a=-1{,}5$$ или $$a=2{,}5$$; б) $$a=-0{,}5$$ или $$a=1{,}5$$; в) $$a=0{,}5$$.