Упр.5.15 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Найдите максимум и минимум функции $$y=\sqrt{|x|}$$ на: а) отрезке $$[-1;1]$$; б) интервале $$(-1;1)$$; в) полуинтервале $$[-1;1)$$; г) полуинтервале $$(-1;1]$$.

Рассмотрим функцию $$y=\sqrt{|x|}.$$ Она определена при всех $$x\in[-1;1].$$

Так как $$|x|\ge 0,$$ то $$\sqrt{|x|}\ge 0.$$ Наименьшее значение функция принимает при $$x=0$$:

$$y(0)=\sqrt{|0|}=0.$$

Наибольшее значение на рассматриваемых промежутках достигается при $$|x|=1,$$ то есть при $$x=-1$$ или $$x=1,$$ если эти точки входят в промежуток.

а) На отрезке $$[-1;1]$$

$$\max y=1,\qquad \min y=0.$$

б) На интервале $$(-1;1)$$

Точка $$x=0$$ принадлежит интервалу, поэтому

$$\min y=0.$$

Максимум не достигается, так как значения $$y$$ сколь угодно близки к $$1,$$ но точки $$x=-1$$ и $$x=1$$ в интервал не входят.

в) На полуинтервале $$[-1;1)$$

Точка $$x=-1$$ входит в промежуток, поэтому

$$\max y=1,\qquad \min y=0.$$

г) На полуинтервале $$(-1;1]$$

Точка $$x=1$$ входит в промежуток, поэтому

$$\max y=1,\qquad \min y=0.$$

Ответ

а) $$\max y=1,$$ $$\min y=0.$$
б) $$\min y=0,$$ максимума нет.
в) $$\max y=1,$$ $$\min y=0.$$
г) $$\max y=1,$$ $$\min y=0.$$