Упр.5.14 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) отрезке [-2; 2];
б) интервале (-2; 2);
в) полуинтервале (—2; 2];
г) полуинтервале [-2; 2).

Подробный ответ

Найдём производную функции:

$$y=\frac{x^4}{4}-2x^2$$

$$y’=x^3-4x=x(x^2-4)=x(x-2)(x+2)$$

Критические точки: $$x=-2,\;0,\;2.$$

Рассмотрим значения функции в этих точках:

$$y(-2)=\frac{16}{4}-2\cdot 4=4-8=-4$$

$$y(0)=0$$

$$y(2)=\frac{16}{4}-2\cdot 4=4-8=-4$$

Также удобно записать:

$$y=\frac{x^2}{4}(x^2-8)$$

При $$|x|<2$$ имеем $$x^2-8<0,$$ поэтому на рассматриваемых промежутках максимум достигается в точке $$x=0,$$ а минимум — в точках $$x=\pm 2,$$ если они входят в промежуток.

На отрезке $$[-2;2]$$ функция принимает значения $$-4$$ и $$0$$, значит
$$\max y=0,\qquad \min y=-4.$$
На интервале $$(-2;2)$$ точки $$x=-2$$ и $$x=2$$ не входят в промежуток, поэтому наименьшее значение не достигается. Максимум достигается при $$x=0$$:
$$\max y=0,$$
минимума нет.
На полуинтервале $$(-2;2]$$ точка $$x=2$$ входит в промежуток, поэтому
$$\max y=0,\qquad \min y=-4.$$
На полуинтервале $$[-2;2)$$ точка $$x=-2$$ входит в промежуток, поэтому
$$\max y=0,\qquad \min y=-4.$$