Упр.5.13 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) у = х + ln(-х) на отрезке [-4; -0,5];
б) у = х + на отрезке [-ln 4; ln 2].
Можно считать, что ln 2 = 0,7.

а) Рассмотрим функцию $$y=x+\ln(-x)$$ на отрезке $$[-4;\,-0{,}5].$$

Найдём производную:

$$y’ = 1 — \frac{1}{x} = 1 + \frac{1}{x}.$$

Критические точки определяются из уравнения

$$1+\frac{1}{x}=0 \quad \Rightarrow \quad x=-1.$$

Точка $$x=-1$$ принадлежит отрезку $$[-4;\,-0{,}5].$$

Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:

$$y(-4)=-4+\ln 4,$$

$$y(-1)=-1+\ln 1=-1,$$

$$y(-0{,}5)=-0{,}5+\ln 0{,}5=-0{,}5-\ln 2.$$

Сравним значения: $$-4+\ln 4 \approx -2{,}6,$$ $$-1,$$ $$-0{,}5-\ln 2 \approx -1{,}2.$$

Следовательно, наибольшее значение функции равно $$-1,$$ а наименьшее — $$-4+\ln 4.$$

б) Рассмотрим функцию $$y=x+e^{-x}$$ на отрезке $$[-\ln 4;\,\ln 2].$$

Найдём производную:

$$y’ = 1 — e^{-x}.$$

Критическая точка находится из уравнения

$$1-e^{-x}=0 \quad \Rightarrow \quad e^{-x}=1 \quad \Rightarrow \quad x=0.$$

Точка $$x=0$$ принадлежит отрезку $$[-\ln 4;\,\ln 2].$$

Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:

$$y(-\ln 4)=-\ln 4+e^{\ln 4}=4-\ln 4,$$

$$y(0)=0+e^0=1,$$

$$y(\ln 2)=\ln 2+e^{-\ln 2}=\ln 2+\frac12.$$

Так как $$\ln 2 \approx 0{,}7,$$ получаем:

$$4-\ln 4 \approx 2{,}6,\qquad \ln 2+\frac12 \approx 1{,}2.$$

Значит, наибольшее значение функции равно $$4-\ln 4,$$ а наименьшее — $$1.$$

Ответ

а) $$\max y=-1,\quad \min y=-4+\ln 4.$$

б) $$\max y=4-\ln 4,\quad \min y=1.$$