Упр.5.13 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
Определите наибольшее и наименьшее значения функции:
- $$y=x+\ln(-x)$$ на отрезке $$[-4;-0,5]$$;
- $$y=x+$$ на отрезке $$[-\ln 4;\ln 2]$$.
Можно считать, что $$\ln 2=0,7$$.
а) Рассмотрим функцию $$y=x+\ln(-x)$$ на отрезке $$[-4;\,-0{,}5].$$
Найдём производную:
$$y’ = 1 — \frac{1}{x} = 1 + \frac{1}{x}.$$
Критические точки определяются из уравнения
$$1+\frac{1}{x}=0 \quad \Rightarrow \quad x=-1.$$
Точка $$x=-1$$ принадлежит отрезку $$[-4;\,-0{,}5].$$
Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:
$$y(-4)=-4+\ln 4,$$
$$y(-1)=-1+\ln 1=-1,$$
$$y(-0{,}5)=-0{,}5+\ln 0{,}5=-0{,}5-\ln 2.$$
Сравним значения: $$-4+\ln 4 \approx -2{,}6,$$ $$-1,$$ $$-0{,}5-\ln 2 \approx -1{,}2.$$
Следовательно, наибольшее значение функции равно $$-1,$$ а наименьшее — $$-4+\ln 4.$$
б) Рассмотрим функцию $$y=x+e^{-x}$$ на отрезке $$[-\ln 4;\,\ln 2].$$
Найдём производную:
$$y’ = 1 — e^{-x}.$$
Критическая точка находится из уравнения
$$1-e^{-x}=0 \quad \Rightarrow \quad e^{-x}=1 \quad \Rightarrow \quad x=0.$$
Точка $$x=0$$ принадлежит отрезку $$[-\ln 4;\,\ln 2].$$
Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:
$$y(-\ln 4)=-\ln 4+e^{\ln 4}=4-\ln 4,$$
$$y(0)=0+e^0=1,$$
$$y(\ln 2)=\ln 2+e^{-\ln 2}=\ln 2+\frac12.$$
Так как $$\ln 2 \approx 0{,}7,$$ получаем:
$$4-\ln 4 \approx 2{,}6,\qquad \ln 2+\frac12 \approx 1{,}2.$$
Значит, наибольшее значение функции равно $$4-\ln 4,$$ а наименьшее — $$1.$$
Ответ
а) $$\max y=-1,\quad \min y=-4+\ln 4.$$
б) $$\max y=4-\ln 4,\quad \min y=1.$$
