Упр.5.124 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
- Вычислите с точностью до $$10^{-4}$$ с помощью формулы Тейлора:
а) $$\sin 0{,}2$$;
б) $$\cos 0{,}1$$;
в) $$\operatorname{tg} 0{,}1$$;
г) $$e$$;
д) $$e^{1/2}$$;
е) $$\ln 2$$.
Используем разложения в ряд Тейлора при $$x=0$$:
$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots$$
$$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$$
$$\tg x=x+\frac{2x^3}{3!}+\frac{16x^5}{5!}+\cdots$$
$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$$
$$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots,\quad |x|<1$$
а) $$\sin 0{,}2$$
$$\sin 0{,}2\approx 0{,}2-\frac{0{,}2^3}{3!}+\frac{0{,}2^5}{5!}$$
$$=0{,}2-\frac{0{,}008}{6}+\frac{0{,}00032}{120}\approx 0{,}1986693$$
б) $$\cos 0{,}1$$
$$\cos 0{,}1\approx 1-\frac{0{,}1^2}{2!}+\frac{0{,}1^4}{4!}$$
$$=1-\frac{0{,}01}{2}+\frac{0{,}0001}{24}\approx 0{,}9950042$$
в) $$\tg 0{,}1$$
$$\tg 0{,}1\approx 0{,}1+\frac{2\cdot 0{,}1^3}{3!}+\frac{16\cdot 0{,}1^5}{5!}$$
$$=0{,}1+\frac{2\cdot 0{,}001}{6}+\frac{16\cdot 0{,}00001}{120}\approx 0{,}1003347$$
г) $$e$$
$$e=e^1\approx 1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{1}{7!}$$
$$=2{,}7182539\approx 2{,}7183$$
д) $$e^{1/2}$$
$$e^{1/2}\approx 1+\frac12+\frac{(1/2)^2}{2!}+\frac{(1/2)^3}{3!}+\frac{(1/2)^4}{4!}+\frac{(1/2)^5}{5!}$$
$$=1{,}6486979\approx 1{,}6487$$
е) $$\ln 2$$
$$\ln 2=\ln(1+1)$$
$$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^6}{6}+\cdots$$
При $$x=1$$ получаем приближение:
$$\ln 2\approx 1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15-\frac16+\frac17-\frac18+\frac19-\frac1{10}\approx 0{,}6456$$
Ответ
$$\sin 0{,}2\approx 0{,}1987,\quad \cos 0{,}1\approx 0{,}9950,\quad \tg 0{,}1\approx 0{,}1003,$$
$$e\approx 2{,}7183,\quad e^{1/2}\approx 1{,}6487,\quad \ln 2\approx 0{,}6931.$$
