Упр.5.123 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) у = sinx для n = 7;
б) y = cosx для n = 7;
в) у = tg х для n = 5;
г) у = ех для n = 8;
д) y = ln(1 + х) для n = 5;
е) y = 1/(1+x) для n = 5.

Используем формулу Тейлора в окрестности точки $$x=0$$:

$$ f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f»(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+R_n(x). $$

1. а) $$y=\sin x,\ n=7$$

   Для функции $$\sin x$$ ненулевые производные в точке $$0$$ дают чередующиеся коэффициенты:
   $$\sin 0=0,\ \cos 0=1.$$ Поэтому

   $$ \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+R_7(x). $$

2. б) $$y=\cos x,\ n=7$$

   Имеем
   $$\cos 0=1,\ (\cos x)’=-\sin x,\ (\cos x)»=-\cos x.$$
   Тогда

   $$ \cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+R_7(x). $$

3. в) $$y=\tg x,\ n=5$$

   Для функции $$\tg x$$ в точке $$0$$:
   $$\tg 0=0,\ (\tg x)’=\frac{1}{\cos^2 x},\ (\tg 0)’=1.$$
   Известный ряд Тейлора:

   $$ \tg x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+R_5(x). $$

4. г) $$y=e^x,\ n=8$$

   Так как для всех производных $$\left(e^x\right)^{(k)}=e^x$$ и $$e^0=1$$, получаем:

   $$ e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^6}{6!}+\frac{x^7}{7!}+R_8(x). $$

5. д) $$y=\ln(1+x),\ n=5$$

   При $$x=0$$:
   $$\ln(1+0)=0,$$
   а производные дают чередующийся ряд. Поэтому

   $$ \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+R_5(x). $$

6. е) $$y=\frac{1}{1+x},\ n=5$$

   Это геометрический ряд:
   $$ \frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+R_5(x). $$

Ответ

$$ \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+R_7(x) $$
$$ \cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+R_7(x) $$
$$ \tg x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+R_5(x) $$
$$ e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^6}{6!}+\frac{x^7}{7!}+R_8(x) $$
$$ \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+R_5(x) $$
$$ \frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+R_5(x) $$