Упр.5.123 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Напишите формулу Тейлора для функции: а) $$y=\sin x$$ для $$n=7$$; б) $$y=\cos x$$ для $$n=7$$; в) $$y=\tg x$$ для $$n=5$$; г) $$y=e^x$$ для $$n=8$$; д) $$y=\ln(1+x)$$ для $$n=5$$; е) $$y=\frac{1}{1+x}$$ для $$n=5$$.

Используем формулу Тейлора в окрестности точки $$x=0$$:

$$f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f»(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+R_n(x).$$

1. а) $$y=\sin x,\ n=7$$

   Для функции $$\sin x$$ ненулевые производные в точке $$0$$ дают чередующиеся коэффициенты:
   $$\sin 0=0,\ \cos 0=1.$$ Поэтому

   $$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+R_7(x).$$

2. б) $$y=\cos x,\ n=7$$

   Имеем
   $$\cos 0=1,\ (\cos x)’=-\sin x,\ (\cos x)»=-\cos x.$$
   Тогда

   $$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+R_7(x).$$

3. в) $$y=\tg x,\ n=5$$

   Для функции $$\tg x$$ в точке $$0$$:
   $$\tg 0=0,\ (\tg x)’=\frac{1}{\cos^2 x},\ (\tg 0)’=1.$$
   Известный ряд Тейлора:

   $$\tg x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+R_5(x).$$

4. г) $$y=e^x,\ n=8$$

   Так как для всех производных $$\left(e^x\right)^{(k)}=e^x$$ и $$e^0=1$$, получаем:

   $$e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^6}{6!}+\frac{x^7}{7!}+R_8(x).$$

5. д) $$y=\ln(1+x),\ n=5$$

   При $$x=0$$:
   $$\ln(1+0)=0,$$
   а производные дают чередующийся ряд. Поэтому

   $$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+R_5(x).$$

6. е) $$y=\frac{1}{1+x},\ n=5$$

   Это геометрический ряд:
   $$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+R_5(x).$$

Ответ

$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+R_7(x)$$
$$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+R_7(x)$$
$$\tg x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+R_5(x)$$
$$e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^6}{6!}+\frac{x^7}{7!}+R_8(x)$$
$$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+R_5(x)$$
$$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+R_5(x)$$