Упр.5.122 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
а) $$f(x)=\frac{1}{|x|}+2|x|+e^{1-|x|}$$; б) $$f(x)=\frac{1}{x}+2x+e^{1-|x|}$$; в) $$f(x)=\frac{1}{x}+2x+e^{1-x}$$; г) $$y=x+\sqrt{x^1-x+1}$$.
а) $$f(x)=\frac{1}{|x|}+2|x|+e^{\,1-|x|}$$
Область определения:
$$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
Проверим чётность:
$$f(-x)=\frac{1}{|-x|}+2|-x|+e^{\,1-|-x|}=\frac{1}{|x|}+2|x|+e^{\,1-|x|}=f(x).$$
Значит, функция чётная.
Найдём точки пересечения с осями координат.
С осью $$Ox$$:
$$\frac{1}{|x|}+2|x|+e^{\,1-|x|}>0,$$
поэтому уравнение $$f(x)=0$$ решений не имеет.
С осью $$Oy$$ пересечения нет, так как $$x=0$$ не входит в область определения.
Для $$x>0$$ имеем $$|x|=x$$, поэтому
$$f(x)=\frac{1}{x}+2x+e^{\,1-x}.$$
Первая производная:
$$f'(x)=-\frac{1}{x^2}+2-e^{\,1-x}.$$
Решим уравнение $$f'(x)=0$$:
$$-\frac{1}{x^2}+2-e^{\,1-x}=0.$$
Из графика производной получаем критическую точку $$x=1$$. Тогда
$$f(1)=\frac{1}{1}+2\cdot1+e^{\,0}=4.$$
Следовательно, точка минимума: $$\left(1;4\right).$$
Так как функция чётная, то симметричная ей точка тоже является точкой минимума:
$$\left(-1;4\right).$$
Вторая производная при $$x>0$$:
$$f»(x)=\frac{2}{x^3}+e^{\,1-x}.$$
Так как $$\frac{2}{x^3}+e^{\,1-x}>0$$ при $$x>0$$, то функция выпукла вверх на $$\left(0;+\infty\right)$$.
Асимптоты: вертикальной асимптоты нет, так как при $$x\to0$$ функция не определена, а значение стремится к $$+\infty$$. Наклонная асимптота при $$x\to+\infty$$:
$$k=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{1}{x^2}+2+\frac{e^{\,1-x}}{x}\right)=2,$$
$$b=\lim_{x\to+\infty}\bigl(f(x)-2x\bigr)=\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{1}{x}+e^{\,1-x}\right)=0.$$
Значит, наклонная асимптота:
$$y=2x.$$
б) $$f(x)=\frac{1}{x}+2x+e^{\,1-|x|}$$
Область определения:
$$D(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}.$$
Проверим чётность:
$$f(-x)=-\frac{1}{x}-2x+e^{\,1-|x|}\neq f(x),\qquad f(-x)\neq -f(x).$$
Следовательно, функция ни чётная, ни нечётная.
С осью $$Oy$$ пересечения нет, так как $$x=0$$ не входит в область определения.
С осью $$Ox$$:
$$\frac{1}{x}+2x+e^{\,1-|x|}=0.$$
По графику получаем единственный корень:
$$x\approx -0{,}55.$$
Значит, точка пересечения с осью $$Ox$$: $$\left(-0{,}55;0\right).$$
Первая производная:
$$f'(x)=-\frac{1}{x^2}+2-e^{\,1-|x|}\cdot \frac{d}{dx}|x|.$$
Для исследования на промежутках:
- при $$x>0$$: $$f(x)=\frac{1}{x}+2x+e^{\,1-x},$$
- при $$x<0$$: $$f(x)=\frac{1}{x}+2x+e^{\,1+x}.$$
Из исследования производной следует, что функция возрастает на $$(-\infty;-0{,}55)$$ и $$\left(0{,}55;+\infty\right)$$, убывает на $$\left(-0{,}55;0\right)$$ и $$\left(0;0{,}55\right).$$
в) $$f(x)=\frac{1}{x}+2x+e^{\,1-x}$$
Область определения:
$$D(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}.$$
Проверим чётность:
$$f(-x)=-\frac{1}{x}-2x+e^{\,1+x},$$
поэтому функция ни чётная, ни нечётная.
С осью $$Ox$$:
$$\frac{1}{x}+2x+e^{\,1-x}=0.$$
По графику получаем корень:
$$x\approx -0{,}3.$$
С осью $$Oy$$ пересечения нет.
Первая производная:
$$f'(x)=-\frac{1}{x^2}+2-e^{\,1-x}.$$
Решая $$f'(x)=0$$, получаем критическую точку:
$$x=1.$$
Тогда
$$f(1)=\frac{1}{1}+2\cdot1+e^0=4.$$
Следовательно, точка минимума: $$\left(1;4\right).$$
Функция возрастает на $$\left(1;+\infty\right)$$ и убывает на $$(-\infty;0)$$ и $$\left(0;1\right).$$
Вторая производная:
$$f»(x)=\frac{2}{x^3}+e^{\,1-x}.$$
Из уравнения $$f»(x)=0$$ получаем точку перегиба:
$$x\approx -0{,}7.$$
г) $$y=x+\sqrt{x^2-x+1}$$
Область определения:
$$x^2-x+1>0$$ при всех $$x\in\mathbb{R},$$ значит
$$D(y)=\mathbb{R}.$$
Проверим чётность:
$$y(-x)=-x+\sqrt{x^2+x+1},$$
поэтому функция ни чётная, ни нечётная.
Точка пересечения с осью $$Oy$$:
$$y(0)=1,$$
значит, точка $$\left(0;1\right).$$
Первая производная:
$$y'(x)=1+\frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x+1}}.$$
Решим уравнение $$y'(x)=0$$:
$$1+\frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x+1}}=0.$$
Отсюда получаем критическую точку:
$$x=1.$$
Тогда
$$y(1)=1+\sqrt{1-1+1}=2.$$
Следовательно, точка минимума: $$\left(1;2\right).$$
Функция убывает на $$(-\infty;1)$$ и возрастает на $$\left(1;+\infty\right).$$
Ответ
а) $$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty),$$ функция чётная, точка минимума $$\left(1;4\right),$$ наклонная асимптота $$y=2x.$$
б) $$D(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\},$$ функция ни чётная, ни нечётная, пересечение с осью $$Ox$$: $$\left(-0{,}55;0\right).$$
в) $$D(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\},$$ функция ни чётная, ни нечётная, точка минимума $$\left(1;4\right).$$
г) $$D(y)=\mathbb{R},$$ функция ни чётная, ни нечётная, точка минимума $$\left(1;2\right).$$
