Упр.5.120 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 5.120 Исследуйте функцию у = lnx/x постройте ее график. Сравните числа: а) 3пи и пи3; б) е3 и 3е; в) епи и пие. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 nikol11 5-120 118

Подробный ответ

Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{\ln x}{x}.$$

Область определения: $$x>0.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}.$$

Так как $$x^2>0$$ при $$x>0,$$ знак производной определяется числителем $$1-\ln x.$$

$$f'(x)=0 \iff 1-\ln x=0 \iff \ln x=1 \iff x=e.$$

Следовательно,

$$f'(x)>0 \text{ при } 0<x<e,\qquad f'(x)<0 \text{ при } x>e.$$

Значит, функция возрастает на $$\left(0,e\right)$$ и убывает на $$\left(e,+\infty\right),$$ а в точке $$x=e$$ достигает максимума:

$$f(e)=\frac{\ln e}{e}=\frac{1}{e}.$$

Найдём вторую производную:

$$f»(x)=\frac{2\ln x-3}{x^3}.$$

$$f»(x)=0 \iff 2\ln x-3=0 \iff \ln x=\frac32 \iff x=e^{3/2}=e\sqrt e.$$

Тогда

$$f»(x)<0 \text{ при } 0<x<e\sqrt e,\qquad f»(x)>0 \text{ при } x>e\sqrt e.$$

Значит, график функции вогнут вниз на $$\left(0,e\sqrt e\right),$$ вогнут вверх на $$\left(e\sqrt e,+\infty\right),$$ точка перегиба: $$\left(e\sqrt e,\frac{3}{2e\sqrt e}\right).$$

Асимптоты:

$$\lim_{x\to 0+}\frac{\ln x}{x}=-\infty,$$

поэтому вертикальная асимптота: $$x=0.$$

Кроме того,

$$\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln x}{x}=0,$$

значит, горизонтальная асимптота: $$y=0.$$

Для построения графика удобно отметить точки:

$$\left(1,0\right),\quad \left(e,\frac1e\right),\quad \left(e^2,\frac{2}{e^2}\right).$$

График проходит через точку $$\left(1,0\right),$$ возрастает до максимума в $$x=e,$$ затем убывает, приближаясь к оси $$Ox.$$

Сравним числа, используя монотонность функции $$f(x)=\frac{\ln x}{x}.$$

а) Так как $$\pi>3>e,$$ а на $$\left(e,+\infty\right)$$ функция убывает, то

$$f(3)>f(\pi).$$