Упр.5.119 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 5.119* Найдите точки перегиба графика функции у = 3/8 * х4 — х3 + 2. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 nikol11 5-119 118

Подробный ответ

Найдём вторую производную функции $$y=\frac{3}{8}x^4-x^3+2.$$

$$y’=\frac{3}{2}x^3-3x^2,$$
$$y»=\frac{9}{2}x^2-6x.$$

Точки перегиба возможны там, где $$y»=0$$:

$$\frac{9}{2}x^2-6x=0,$$
$$3x\left(\frac{3}{2}x-2\right)=0.$$

Отсюда

$$x=0 \quad \text{или} \quad x=\frac{4}{3}.$$

Проверим знак второй производной:

$$y»(x)=\frac{9}{2}x^2-6x$$
меняет знак при переходе через оба найденных значения, значит в этих точках график имеет перегиб.

Найдём ординаты точек:

$$y(0)=2,$$
$$y\left(\frac{4}{3}\right)=\frac{3}{8}\left(\frac{4}{3}\right)^4-\left(\frac{4}{3}\right)^3+2=-\frac{10}{27}.$$

Следовательно, точки перегиба: