Упр.5.118 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 5.118* Найдите множество значений функции и постройте ее график:

Подробный ответ

Рассмотрим функцию

$$y=\frac{x^2-3x+1}{x^2+1}.$$

1) Найдём множество значений. Пусть $$y=\frac{x^2-3x+1}{x^2+1}$$. Тогда

$$y(x^2+1)=x^2-3x+1,$$

$$x^2(y-1)+3x+(y-1)=0.$$

Это квадратное уравнение относительно $$x$$. Для существования действительных решений его дискриминант должен быть неотрицателен:

$$D=3^2-4(y-1)(y-1)=9-4(y-1)^2\ge 0.$$

Отсюда

$$4(y-1)^2\le 9,$$

$$|y-1|\le \frac32,$$

$$-\frac32\le y-1\le \frac32,$$

$$-\frac12\le y\le \frac52.$$

Значит, множество значений функции:

$$E(y)=\left[-\frac12;\frac52\right].$$

2) Область определения:

$$D(f)=\mathbb{R},$$

так как $$x^2+1>0$$ при всех $$x\in\mathbb{R}$$.

3) Проверим симметрию:

$$y(-x)=\frac{(-x)^2-3(-x)+1}{(-x)^2+1}=\frac{x^2+3x+1}{x^2+1},$$

поэтому функция ни чётная, ни нечётная.

4) Точки пересечения с осями.

С осью $$Ox$$: $$y=0$$, значит

$$\frac{x^2-3x+1}{x^2+1}=0 \;\Rightarrow\; x^2-3x+1=0.$$

$$D=9-4=5,$$

$$x_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt5}{2}.$$

Точки пересечения:

$$\left(\frac{3+\sqrt5}{2},0\right),\ \left(\frac{3-\sqrt5}{2},0\right).$$

С осью $$Oy$$: $$x=0$$, тогда

$$y(0)=1,$$

то есть точка $$\left(0,1\right).$$

5) Найдём производную:

$$y'(x)=\frac{(2x-3)(x^2+1)-2x(x^2-3x+1)}{(x^2+1)^2}.$$

После упрощения получаем

$$y'(x)=\frac{3x^2-3}{(x^2+1)^2}=\frac{3(x^2-1)}{(x^2+1)^2}.$$

Критические точки:

$$3(x^2-1)=0 \;\Rightarrow\; x=\pm 1.$$

Знак производной:

$$y'(x)>0 \text{ при } x<-1 \text{ и } x>1,$$

$$y'(x)<0 \text{ при } -1<x<1.$$

Следовательно, в точке $$x=-1$$ — максимум, а в точке $$x=1$$ — минимум.

$$y(-1)=\frac{1+3+1}{2}=\frac52,$$

$$y(1)=\frac{1-3+1}{2}=-\frac12.$$

Итак, график проходит через точки $$\left(-1,\frac52\right)$$ и $$\left(1,-\frac12\right)$$, пересекает оси в найденных точках, а значения функции лежат в промежутке $$\left[-\frac12;\frac52\right].$$