Упр.5.117 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) у = -x2(0,5×2 — 4);
б) у = (х2 — 1)2;
в) у = -х + 4/(3-x) -2;
г) у = х + 1/(x-1) — 3;

1. а) $$y=-x^2(0{,}5x^2-4)=-\frac12x^4+4x^2.$$

   Область определения: $$D(y)=\mathbb R.$$ Функция чётная, так как $$y(-x)=y(x).$$

   Нули функции:

   $$ -x^2(0{,}5x^2-4)=0 \\ x=0,\quad x=\pm 2\sqrt2. $$

   Точки пересечения с осями: $$(-2\sqrt2,0),\ (0,0),\ (2\sqrt2,0).$$

   Первая производная:

   $$ y'(x)=-2x^3+8x=2x(4-x^2)=2x(2-x)(2+x). $$

   Критические точки: $$x=-2,\ 0,\ 2.$$ По знакам производной получаем:

   • возрастает на $$(-\infty,-2)$$ и $$ (0,2);$$
   • убывает на $$(-2,0)$$ и $$ (2,+\infty).$$

   Значения в точках экстремума:

   $$ y(-2)=8,\quad y(0)=0,\quad y(2)=8. $$

   Следовательно, точки экстремума: $$(-2,8),\ (0,0),\ (2,8).$$

   Вторая производная:

   $$ y»(x)=-6x^2+8. $$

   $$ -6x^2+8=0 \\ x=\pm \frac{2}{\sqrt3}. $$

   Точки перегиба:

   $$ y\!\left(\pm \frac{2}{\sqrt3}\right) =-\frac12\cdot \frac{16}{9}+4\cdot \frac{4}{3} =\frac{32}{9}. $$

   Итак, точки перегиба: $$\left(-\frac{2}{\sqrt3},\frac{32}{9}\right),\ \left(\frac{2}{\sqrt3},\frac{32}{9}\right).$$

   Асимптот нет. График симметричен относительно оси $$Oy$$ и проходит через точки $$(-2\sqrt2,0),\ (0,0),\ (2\sqrt2,0),\ (-2,8),\ (2,8).$$

2. б) $$y=(x^2-1)^2=x^4-2x^2+1.$$

   Область определения: $$D(y)=\mathbb R.$$ Функция чётная.

   Нули функции:

   $$ (x^2-1)^2=0 \\ x=\pm 1. $$

   Точки пересечения с осями: $$(-1,0),\ (1,0),\ (0,1).$$

   Первая производная:

   $$ y'(x)=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1). $$

   Критические точки: $$x=-1,\ 0,\ 1.$$ Тогда:

   • убывает на $$(-\infty,-1)$$ и $$ (0,1);$$
   • возрастает на $$(-1,0)$$ и $$ (1,+\infty).$$

   Значения в точках экстремума:

   $$ y(-1)=0,\quad y(0)=1,\quad y(1)=0. $$

   Точки экстремума: $$(-1,0),\ (0,1),\ (1,0).$$

   Вторая производная:

   $$ y»(x)=12x^2-4. $$

   $$ 12x^2-4=0 \\ x=\pm \frac{1}{\sqrt3}. $$

   $$ y\!\left(\pm \frac{1}{\sqrt3}\right) =\left(\frac13-1\right)^2 =\frac49. $$

   Точки перегиба: $$\left(-\frac{1}{\sqrt3},\frac49\right),\ \left(\frac{1}{\sqrt3},\frac49\right).$$

   Асимптот нет. График симметричен относительно оси $$Oy$$.

3. в) $$y=-x+\frac{4}{3-x}-2.$$

   Область определения:

   $$ D(y)=(-\infty,3)\cup(3,+\infty). $$

   Функция не является ни чётной, ни нечётной.

   Пересечения с осями:

   $$ -x+\frac{4}{3-x}-2=0 \\ -x(3-x)+4-2(3-x)=0 \\ x^2-x-2=0 \\ (x-2)(x+1)=0. $$

   Отсюда $$x=-1,\ 2.$$ Точки пересечения с осью $$Ox$$: $$(-1,0),\ (2,0).$$

   При $$x=0$$ получаем:

   $$ y(0)=\frac{4}{3}-2=-\frac23. $$

   Точка пересечения с осью $$Oy$$: $$\left(0,-\frac23\right).$$

   Первая производная:

   $$ y'(x)=-1+\frac{4}{(3-x)^2}. $$

   $$ -1+\frac{4}{(3-x)^2}=0 \\ (3-x)^2=4 \\ x=1,\ 5. $$

   Знаки производной:

   • убывает на $$(-\infty,1)$$ и $$ (5,+\infty);$$
   • возрастает на $$ (1,3)$$ и $$ (3,5).$$

   Точки экстремума:

   $$ y(1)=-1,\quad y(5)=-9. $$

   Минимумы: $$ (1,-1)$$ и $$ (5,-9).$$ Максимум: $$ (3,\text{ не существует}),$$ так как в точке $$x=3$$ функция не определена.

   Вторая производная:

   $$ y»(x)=\frac{8}{(3-x)^3}. $$

   Знак второй производной меняется при переходе через $$x=3,$$ но эта точка не принадлежит области определения, поэтому точек перегиба нет.

   Вертикальная асимптота: $$x=3.$$

   Наклонная асимптота:

   $$ y=-x-2. $$

4. г) $$y=x+\frac{1}{x-1}-3.$$

   Область определения:

   $$ D(y)=(-\infty,1)\cup(1,+\infty). $$

   Функция не является ни чётной, ни нечётной.

   Пересечения с осями:

   $$ x+\frac{1}{x-1}-3=0 \\ x(x-1)+1-3(x-1)=0 \\ x^2-4x+4=0 \\ (x-2)^2=0. $$

   Отсюда $$x=2.$$ Точка пересечения с осью $$Ox$$: $$ (2,0).$$

   При $$x=0$$:

   $$ y(0)=\frac{1}{-1}-3=-4. $$

   Точка пересечения с осью $$Oy$$: $$ (0,-4).$$

   Первая производная:

   $$ y'(x)=1-\frac{1}{(x-1)^2}. $$

   $$ 1-\frac{1}{(x-1)^2}=0 \\ (x-1)^2=1 \\ x=0,\ 2. $$

   Знаки производной:

   • возрастает на $$(-\infty,0)$$ и $$ (2,+\infty);$$
   • убывает на $$ (0,1)$$ и $$ (1,2).$$

   Точки экстремума:

   $$ y(0)=-4,\quad y(2)=0. $$

   Максимум: $$ (0,-4).$$ Минимум: $$ (2,0).$$

   Вторая производная:

   $$ y»(x)=\frac{2}{(x-1)^3}. $$

   Точек перегиба нет, так как смена выпуклости происходит в точке разрыва $$x=1.$$

   Вертикальная асимптота: $$x=1.$$

   Наклонная асимптота:

   $$ y=x-3. $$

Ответ

а) $$D(y)=\mathbb R,$$ функция чётная; нули: $$x=0,\ \pm 2\sqrt2;$$
возрастает на $$(-\infty,-2)$$ и $$ (0,2),$$ убывает на $$(-2,0)$$ и $$ (2,+\infty);$$
экстремумы: $$(-2,8),\ (0,0),\ (2,8);$$
точки перегиба: $$\left(\pm \frac{2}{\sqrt3},\frac{32}{9}\right);$$ асимптот нет.

б) $$D(y)=\mathbb R,$$ функция чётная; нули: $$x=\pm 1;$$
убывает на $$(-\infty,-1)$$ и $$ (0,1),$$ возрастает на $$(-1,0)$$ и $$ (1,+\infty);$$
экстремумы: $$(-1,0),\ (0,1),\ (1,0);$$
точки перегиба: $$\left(\pm \frac{1}{\sqrt3},\frac49\right);$$ асимптот нет.

в) $$D(y)=(-\infty,3)\cup(3,+\infty);$$
нули: $$x=-1,\ 2;$$
$$y(0)=-\frac23;$$
убывает на $$(-\infty,1)$$ и $$ (5,+\infty),$$ возрастает на $$ (1,3)$$ и $$ (3,5);$$
минимумы: $$ (1,-1),\ (5,-9);$$
вертикальная асимптота: $$x=3;$$ наклонная асимптота: $$y=-x-2.$$

г) $$D(y)=(-\infty,1)\cup(1,+\infty);$$
нули: $$x=2;$$
$$y(0)=-4;$$
возрастает на $$(-\infty,0)$$ и $$ (2,+\infty),$$ убывает на $$ (0,1)$$ и $$ (1,2);$$
максимум: $$ (0,-4),$$ минимум: $$ (2,0);$$
вертикальная асимптота: $$x=1;$$ наклонная асимптота: $$y=x-3.$$