Упр.5.116 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) Найдите промежутки монотонности, экстремумы, асимптоты графика функции у = 1/x2 — 2х и постройте ее график.

1. а) $$y=\frac{x}{9}(x+4)^3$$

   Найдём производную:

   $$ y’=\frac{1}{9}(x+4)^3+\frac{x}{9}\cdot 3(x+4)^2 =\frac{1}{9}(x+4)^2\bigl((x+4)+3x\bigr) =\frac{4}{9}(x+4)^2(x+1). $$

   Критические точки: $$x=-4$$ и $$x=-1$$.

   Так как $$\frac{4}{9}(x+4)^2\ge 0$$, знак производной определяется множителем $$x+1$$:

   • при $$x<-1$$ имеем $$y'<0$$, функция убывает;
   • при $$x>-1$$ имеем $$y’>0$$, функция возрастает.

   Следовательно, в точке $$x=-1$$ — минимум:

   $$ y(-1)=\frac{-1}{9}\cdot 3^3=-3. $$

   Точка $$x=-4$$ не является точкой экстремума, так как знак производной не меняется.

   Найдём вторую производную:

   $$ y»=\frac{4}{9}\Bigl(2(x+4)(x+1)+(x+4)^2\Bigr) =\frac{4}{3}(x+4)\left(x+2\right). $$

   Точки возможного перегиба: $$x=-4$$ и $$x=-2$$.

   Знак $$y»$$:

   • при $$x<-4$$: $$y»>0$$, график выпукл вверх;
   • при $$-4<x<-2$$: $$y»<0$$, график выпукл вниз;
   • при $$x>-2$$: $$y»>0$$, график выпукл вверх.

   Точки перегиба:

   $$ y(-4)=0,\qquad y(-2)=\frac{-2}{9}\cdot 2^3=-\frac{16}{9}. $$

   Итак, точки перегиба: $$(-4,0)$$ и $$\left(-2,-\frac{16}{9}\right)$$.

2. б) $$y=\frac{1}{x^2}-2x$$

   Область определения:

   $$ D(y)=(-\infty,0)\cup(0,+\infty). $$

   Найдём производную:

   $$ y’=-\frac{2}{x^3}-2. $$

   Решим уравнение $$y’=0$$:

   $$ -\frac{2}{x^3}-2=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{x^3}=-1 \quad\Longrightarrow\quad x=-1. $$

   Знак производной:

   • при $$x<-1$$: $$y'<0$$, функция убывает;
   • при $$-1<x<0$$ и $$x>0$$: $$y’>0$$, функция возрастает.

   Значит, в точке $$x=-1$$ — минимум:

   $$ y(-1)=1-2(-1)=3. $$

   Точка минимума: $$(-1,3)$$.

   Асимптоты:

   • вертикальная: $$x=0$$, так как при $$x\to 0^\pm$$ значение $$\frac{1}{x^2}\to +\infty$$;
   • наклонная: $$y=-2x$$, поскольку

   $$ \lim_{x\to\pm\infty}\left(\frac{1}{x^2}-2x-(-2x)\right) = \lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x^2}=0. $$

Ответ

а) Функция убывает на $$(-\infty,-1)$$, возрастает на $$(-1,+\infty)$$. Минимум в точке $$(-1,-3)$$. Точки перегиба: $$(-4,0)$$ и $$\left(-2,-\frac{16}{9}\right)$$. Выпукла вверх на $$(-\infty,-4)\cup(-2,+\infty)$$, выпукла вниз на $$(-4,-2)$$.
б) Функция убывает на $$(-\infty,-1)$$, возрастает на $$(-1,0)$$ и $$ (0,+\infty)$$. Минимум в точке $$(-1,3)$$. Асимптоты: $$x=0$$ и $$y=-2x$$.