Упр.5.115 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
а) у = -2х4 + 4х2 + 3, [-2; 0,5];
б) у = х3 — Зх + 3, [-0,5; 3];
в) у = (х- 1)2(2х + 4), [-2,5; 1,5];
г) у = (2х-4)(х+ I)2, [-1,5; 2,5];
д) y = 1/8* (x + 3)(x-3)2, [-2; 1];
е) y = 1/4* (x-3)(x + 3)2, [-4; -1].
4
а) $$y=-2x^4+4x^2+3$$
$$y’=-8x^3+8x=8x(1-x^2)=8x(1-x)(1+x)$$
Критические точки: $$x=-1,\;0,\;1.$$
Знаки производной:
$$y’>0 \text{ при } x\in(-\infty,-1)\cup(0,1), \qquad y'<0 \text{ при } x\in(-1,0)\cup(1,+\infty).$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty,-1)\cup(0,1),$$ убывает на $$(-1,0)\cup(1,+\infty).$$
Точки экстремума:
$$y(-1)=5,\quad y(0)=3,\quad y(1)=5.$$
Точки экстремума: $$(-1,5),\ (0,3),\ (1,5).$$
На отрезке $$[-2;0{,}5]$$ проверим точки $$x=-2,\,-1,\,0,\,0{,}5$$:
$$y(-2)=-13,\quad y(-1)=5,\quad y(0)=3,\quad y(0{,}5)=\frac{25}{8}.$$
Следовательно, $$\max y=5$$ при $$x=-1,$$ а $$\min y=-13$$ при $$x=-2.$$
б) $$y=x^3-3x+3$$
$$y’=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$$
Критические точки: $$x=-1,\;1.$$
$$y’>0 \text{ при } x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty), \qquad y'<0 \text{ при } x\in(-1,1).$$
Функция возрастает на $$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty),$$ убывает на $$(-1,1).$$
Точки экстремума:
$$y(-1)=5,\quad y(1)=1.$$
Точки экстремума: $$(-1,5),\ (1,1).$$
На отрезке $$[-0{,}5;3]$$ проверим точки $$x=-0{,}5,\;1,\;3$$:
$$y(-0{,}5)=\frac{25}{8},\quad y(1)=1,\quad y(3)=21.$$
Следовательно, $$\max y=21$$ при $$x=3,$$ а $$\min y=1$$ при $$x=1.$$
в) $$y=(x-1)^2(2x+4)$$
$$y’=2(x-1)(2x+4)+2(x-1)^2=2(x-1)(3x+3)=6(x-1)(x+1)$$
Критические точки: $$x=-1,\;1.$$
$$y’>0 \text{ при } x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty), \qquad y'<0 \text{ при } x\in(-1,1).$$
Функция возрастает на $$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty),$$ убывает на $$(-1,1).$$
Точки экстремума:
$$y(-1)=8,\quad y(1)=0.$$
Точки экстремума: $$(-1,8),\ (1,0).$$
На отрезке $$[-2{,}5;1{,}5]$$ проверим точки $$x=-2{,}5,\,-1,\,1,\,1{,}5$$:
$$y(-2{,}5)=-\frac{49}{4},\quad y(-1)=8,\quad y(1)=0,\quad y(1{,}5)=\frac{5}{4}.$$
Следовательно, $$\max y=8$$ при $$x=-1,$$ а $$\min y=-\frac{49}{4}$$ при $$x=-2{,}5.$$
г) $$y=(2x-4)(x+1)^2$$
$$y’=2(x+1)^2+2(2x-4)(x+1)=2(x+1)(3x-3)=6(x+1)(x-1)$$
Критические точки: $$x=-1,\;1.$$
$$y’>0 \text{ при } x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty), \qquad y'<0 \text{ при } x\in(-1,1).$$
Функция возрастает на $$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty),$$ убывает на $$(-1,1).$$
Точки экстремума:
$$y(-1)=0,\quad y(1)=-8.$$
Точки экстремума: $$(-1,0),\ (1,-8).$$
На отрезке $$[-1{,}5;2{,}5]$$ проверим точки $$x=-1{,}5,\,-1,\,1,\,2{,}5$$:
$$y(-1{,}5)=-\frac{7}{4},\quad y(-1)=0,\quad y(1)=-8,\quad y(2{,}5)=\frac{117}{4}.$$
Следовательно, $$\max y=\frac{117}{4}$$ при $$x=2{,}5,$$ а $$\min y=-8$$ при $$x=1.$$
д) $$y=\frac18(x+3)(x-3)^2$$
$$y’=\frac18(x-3)^2+\frac18(x+3)\cdot 2(x-3)=\frac38(x-3)(x+1)$$
Критические точки: $$x=-1,\;3.$$
$$y’>0 \text{ при } x\in(-\infty,-1)\cup(3,+\infty), \qquad y'<0 \text{ при } x\in(-1,3).$$
Функция возрастает на $$(-\infty,-1)\cup(3,+\infty),$$ убывает на $$(-1,3).$$
Точки экстремума:
$$y(-1)=4,\quad y(3)=0.$$
Точки экстремума: $$(-1,4),\ (3,0).$$
На отрезке $$[-2;1]$$ проверим точки $$x=-2,\,-1,\,1$$:
$$y(-2)=\frac{5}{8},\quad y(-1)=4,\quad y(1)=2.$$
Следовательно, $$\max y=4$$ при $$x=-1,$$ а $$\min y=\frac{5}{8}$$ при $$x=-2.$$
е) $$y=\frac14(x-3)(x+3)^2$$
$$y’=\frac14(x+3)^2+\frac14(x-3)\cdot 2(x+3)=\frac34(x+3)(x-1)$$
Критические точки: $$x=-3,\;1.$$
$$y’>0 \text{ при } x\in(-\infty,-3)\cup(1,+\infty), \qquad y'<0 \text{ при } x\in(-3,1).$$
Функция возрастает на $$(-\infty,-3)\cup(1,+\infty),$$ убывает на $$(-3,1).$$
Точки экстремума:
$$y(-3)=0,\quad y(1)=-8.$$
Точки экстремума: $$(-3,0),\ (1,-8).$$
На отрезке $$[-4;-1]$$ проверим точки $$x=-4,\,-3,\,-1$$:
$$y(-4)=-\frac{13}{4},\quad y(-3)=0,\quad y(-1)=-4.$$
Следовательно, $$\max y=0$$ при $$x=-3,$$ а $$\min y=-4$$ при $$x=-1.$$
Ответ
а) возрастает: $$(-\infty,-1)\cup(0,1)$$; убывает: $$(-1,0)\cup(1,+\infty)$$; экстремумы: $$(-1,5),\ (0,3),\ (1,5)$$; на $$[-2;0{,}5]$$: $$\max=5,\ \min=-13.$$
б) возрастает: $$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$$; убывает: $$(-1,1)$$; экстремумы: $$(-1,5),\ (1,1)$$; на $$[-0{,}5;3]$$: $$\max=21,\ \min=1.$$
в) возрастает: $$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$$; убывает: $$(-1,1)$$; экстремумы: $$(-1,8),\ (1,0)$$; на $$[-2{,}5;1{,}5]$$: $$\max=8,\ \min=-\frac{49}{4}.$$
г) возрастает: $$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$$; убывает: $$(-1,1)$$; экстремумы: $$(-1,0),\ (1,-8)$$; на $$[-1{,}5;2{,}5]$$: $$\max=\frac{117}{4},\ \min=-8.$$
д) возрастает: $$(-\infty,-1)\cup(3,+\infty)$$; убывает: $$(-1,3)$$; экстремумы: $$(-1,4),\ (3,0)$$; на $$[-2;1]$$: $$\max=4,\ \min=\frac{5}{8}.$$
е) возрастает: $$(-\infty,-3)\cup(1,+\infty)$$; убывает: $$(-3,1)$$; экстремумы: $$(-3,0),\ (1,-8)$$; на $$[-4;-1]$$: $$\max=0,\ \min=-4.$$
