Упр.5.113 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Найдите промежутки возрастания, убывания, точки экстремума функции и постройте её график: а) $$y=\frac{1}{4}x^2(x-4)^2$$; б) $$y=4x^2(x-2)^2$$.

Подробный ответ

а) $$y=\frac14x^2(x-4)^2=\frac14x^4-2x^3+4x^2.$$

Область определения: $$D(y)=\mathbb{R}.$$

Найдём производную:

$$y’ = x^3-6x^2+8x = x(x-2)(x-4).$$

Критические точки: $$x=0,\;2,\;4.$$

Исследуем знак производной:

$$\begin{array}{c|cccc} x & (-\infty,0) & (0,2) & (2,4) & (4,+\infty)\\ \hline y’ & — & + & — & + \end{array}$$

Значит, функция убывает на $$(-\infty,0]$$ и $$[2,4]$$, возрастает на $$[0,2]$$ и $$[4,+\infty).$$

Найдём значения функции в точках экстремума:

$$y(0)=0,\qquad y(2)=4,\qquad y(4)=0.$$

Следовательно, точки экстремума: $$(0,0),\ (2,4),\ (4,0).$$

б) $$y=4x^2(x-2)^2=4x^4-16x^3+16x^2.$$

Область определения: $$D(y)=\mathbb{R}.$$

Найдём производную:

$$y’ = 16x(x-1)(x-2).$$

Критические точки: $$x=0,\;1,\;2.$$

Исследуем знак производной:

$$\begin{array}{c|cccc} x & (-\infty,0) & (0,1) & (1,2) & (2,+\infty)\\ \hline y’ & — & + & — & + \end{array}$$

Значит, функция убывает на $$(-\infty,0]$$ и $$[1,2]$$, возрастает на $$[0,1]$$ и $$[2,+\infty).$$

Найдём значения функции в точках экстремума:

$$y(0)=0,\qquad y(1)=4,\qquad y(2)=0.$$

Следовательно, точки экстремума: $$(0,0),\ (1,4),\ (2,0).$$

Графики обеих функций симметричны относительно прямой $$x=2$$ для пункта а) и относительно прямой $$x=1$$ для пункта б), проходят через найденные точки экстремума и имеют вид «двух впадин и одного подъёма».