Упр.5.11 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

б) у = 2×3 + х, [-1; 1];
в) у = 2х3 + 6х2 + 8, [-3; 2];
г) у = х3 + 6х, [-2; 1].

Подробный ответ

а) $$y=2x^3-x^2,\quad [-1;1]$$
Найдём производную:
$$y’=6x^2-2x=2x(3x-1).$$
Критические точки:
$$2x(3x-1)=0 \Rightarrow x=0,\; x=\frac13.$$
Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:
$$y(-1)=2\cdot(-1)^3-(-1)^2=-3,$$
$$y(0)=0,$$
$$y\!\left(\frac13\right)=2\cdot\frac1{27}-\frac1{9}=-\frac1{27},$$
$$y(1)=2-1=1.$$
Следовательно, на отрезке $$[-1;1]$$:
$$\max y=1,\qquad \min y=-3.$$
б) $$y=2x^3+x,\quad [-1;1]$$
Найдём производную:
$$y’=6x^2+1.$$
Так как $$6x^2+1>0$$ при всех $$x$$, критических точек нет, функция возрастает на всём отрезке.
Тогда:
$$y(-1)=2\cdot(-1)^3+(-1)=-3,$$
$$y(1)=2\cdot1^3+1=3.$$
Значит,
$$\max y=3,\qquad \min y=-3.$$
в) $$y=2x^3+6x^2+8,\quad [-3;2]$$
Найдём производную:
$$y’=6x^2+12x=6x(x+2).$$
Критические точки:
$$6x(x+2)=0 \Rightarrow x=0,\; x=-2.$$
Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:
$$y(-3)=2\cdot(-3)^3+6\cdot(-3)^2+8=8,$$
$$y(-2)=2\cdot(-2)^3+6\cdot(-2)^2+8=16,$$
$$y(0)=8,$$
$$y(2)=2\cdot2^3+6\cdot2^2+8=48.$$
Следовательно,
$$\max y=48,\qquad \min y=8.$$
г) $$y=x^3+6x,\quad [-2;1]$$
Найдём производную:
$$y’=3x^2+6.$$
Так как $$3x^2+6>0$$ при всех $$x$$, критических точек нет, функция возрастает на всём отрезке.
Тогда:
$$y(-2)=(-2)^3+6\cdot(-2)=-20,$$
$$y(1)=1^3+6\cdot1=7.$$
Значит,
$$\max y=7,\qquad \min y=-20.$$