Упр.5.104 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 5.104 Найдите асимптоты графика функции:

Рассмотрим функцию $$y=\frac{2x^2+1}{x}=2x+\frac{1}{x}.$$

При $$x\to 0+$$ имеем $$\frac{2x^2+1}{x}\to +\infty,$$ а при $$x\to 0-$$ имеем $$\frac{2x^2+1}{x}\to -\infty.$$ Значит, прямая $$x=0$$ — вертикальная асимптота.

Найдём наклонную асимптоту:

$$ \frac{2x^2+1}{x}-2x=\frac{1}{x}. $$

Тогда

$$ \lim_{x\to +\infty}\left(\frac{2x^2+1}{x}-2x\right)=0,\qquad \lim_{x\to -\infty}\left(\frac{2x^2+1}{x}-2x\right)=0. $$

Следовательно, прямая $$y=2x$$ — наклонная асимптота графика.

Других асимптот нет.

Ответ

$$x=0,\quad y=2x.$$