Упр.5.101 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) а = 3, b = 2,5, с = 1,5; б) а = 6, b = 3,7, с = 1,7.

Обозначим через $$x$$ расстояние от наблюдателя до основания постамента. Пусть угол, под которым видна статуя, равен $$\angle AFB=\alpha-\beta$$, где

$$\tan \alpha=\frac{a+b-c}{x}, \qquad \tan \beta=\frac{b-c}{x}.$$

Тогда

$$\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}.$$

Подставим выражения:

$$ \tan(\alpha-\beta)= \frac{\frac{a+b-c}{x}-\frac{b-c}{x}}{1+\frac{a+b-c}{x}\cdot\frac{b-c}{x}} = \frac{ax}{x^2+(a+b-c)(b-c)}. $$

Чтобы угол был наибольшим, нужно максимизировать функцию

$$f(x)=\frac{ax}{x^2+(a+b-c)(b-c)}, \qquad x>0.$$

Найдём производную:

$$ f'(x)=\frac{a\big((a+b-c)(b-c)-x^2\big)}{\big(x^2+(a+b-c)(b-c)\big)^2}. $$

Производная обращается в нуль при

$$x^2=(a+b-c)(b-c),$$

откуда

$$x=\sqrt{(a+b-c)(b-c)}.$$

Это и есть искомое расстояние.

Теперь подставим данные.

а) $$a=3,\; b=2{,}5,\; c=1{,}5$$:

$$ x=\sqrt{(3+2{,}5-1{,}5)(2{,}5-1{,}5)} =\sqrt{4\cdot 1}=2. $$

б) $$a=6,\; b=3{,}7,\; c=1{,}7$$:

$$ x=\sqrt{(6+3{,}7-1{,}7)(3{,}7-1{,}7)} =\sqrt{8\cdot 2}=4. $$

Ответ

В общем виде: $$x=\sqrt{(a+b-c)(b-c)}$$ м.

а) $$2$$ м; б) $$4$$ м.