Упр.5.101 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
- 5.101. Статуя высотой $$a$$ м возвышается на постаменте высотой $$b$$ м (рис. 131). На каком расстоянии от основания статуи должен встать наблюдатель, рост которого до уровня глаз $$c$$ м, $$c<b$$, чтобы видеть статую под наибольшим углом? Шириной постамента пренебречь. Решите задачу в общем виде, получите ответ в случае, если: а) $$a=3$$, $$b=2{,}5$$, $$c=1{,}5$$; б) $$a=6$$, $$b=3{,}7$$, $$c=1{,}7$$.
Обозначим через $$x$$ расстояние от наблюдателя до основания постамента. Пусть угол, под которым видна статуя, равен $$\angle AFB=\alpha-\beta$$, где
$$\tan \alpha=\frac{a+b-c}{x}, \qquad \tan \beta=\frac{b-c}{x}.$$
Тогда
$$\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}.$$
Подставим выражения:
$$\tan(\alpha-\beta)= \frac{\frac{a+b-c}{x}-\frac{b-c}{x}}{1+\frac{a+b-c}{x}\cdot\frac{b-c}{x}} = \frac{ax}{x^2+(a+b-c)(b-c)}.$$
Чтобы угол был наибольшим, нужно максимизировать функцию
$$f(x)=\frac{ax}{x^2+(a+b-c)(b-c)}, \qquad x>0.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{a\big((a+b-c)(b-c)-x^2\big)}{\big(x^2+(a+b-c)(b-c)\big)^2}.$$
Производная обращается в нуль при
$$x^2=(a+b-c)(b-c),$$
откуда
$$x=\sqrt{(a+b-c)(b-c)}.$$
Это и есть искомое расстояние.
Теперь подставим данные.
а) $$a=3,\; b=2{,}5,\; c=1{,}5$$:
$$x=\sqrt{(3+2{,}5-1{,}5)(2{,}5-1{,}5)} =\sqrt{4\cdot 1}=2.$$
б) $$a=6,\; b=3{,}7,\; c=1{,}7$$:
$$x=\sqrt{(6+3{,}7-1{,}7)(3{,}7-1{,}7)} =\sqrt{8\cdot 2}=4.$$
Ответ
В общем виде: $$x=\sqrt{(a+b-c)(b-c)}$$ м.
а) $$2$$ м; б) $$4$$ м.
