Упр.5.100 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 5.100 В некотором царстве, в некотором государстве подорожала жесть, идущая на изготовление консервных банок. Экономный хозяин фабрики рыбных консервов хочет выпускать свою продукцию в банках цилиндрической формы объемом V с наименьшими возможными затратами жести. Вычислите диаметр основания и высоту такой банки. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 nikol11 5-100 118
Пусть радиус основания банки равен $$x$$, тогда высота цилиндра
$$h=\frac{V}{\pi x^2}.$$
Площадь полной поверхности банки:
$$S=2\pi x^2+2\pi xh=2\pi x^2+\frac{2V}{x}, \qquad x>0.$$
Найдём минимум функции
$$f(x)=2\pi x^2+\frac{2V}{x}.$$
Её производная:
$$f'(x)=4\pi x-\frac{2V}{x^2}.$$
Приравняем производную к нулю:
$$4\pi x-\frac{2V}{x^2}=0,$$
$$4\pi x^3=2V,$$
$$x^3=\frac{V}{2\pi},$$
$$x=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}.$$
Тогда диаметр основания
$$d=2x=2\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}=\sqrt[3]{\frac{4V}{\pi}}.$$
Высота банки:
$$h=\frac{V}{\pi x^2}=\frac{V}{\pi\left(\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}\right)^2}=\sqrt[3]{\frac{4V}{\pi}}.$$
Следовательно, при наименьшем расходе жести диаметр основания и высота банки равны.
Ответ
$$d=h=\sqrt[3]{\frac{4V}{\pi}}.$$
