Упр.5.100 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

В некотором царстве, в некотором государстве подорожала жесть, идущая на изготовление консервных банок. Экономный хозяин фабрики рыбных консервов хочет выпускать свою продукцию в банках цилиндрической формы объемом $$V$$ с наименьшими возможными затратами жести. Вычислите диаметр основания и высоту такой банки.

Пусть радиус основания банки равен $$x$$, тогда высота цилиндра

$$h=\frac{V}{\pi x^2}.$$

Площадь полной поверхности банки:

$$S=2\pi x^2+2\pi xh=2\pi x^2+\frac{2V}{x}, \qquad x>0.$$

Найдём минимум функции

$$f(x)=2\pi x^2+\frac{2V}{x}.$$

Её производная:

$$f'(x)=4\pi x-\frac{2V}{x^2}.$$

Приравняем производную к нулю:

$$4\pi x-\frac{2V}{x^2}=0,$$

$$4\pi x^3=2V,$$

$$x^3=\frac{V}{2\pi},$$

$$x=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}.$$

Тогда диаметр основания

$$d=2x=2\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}=\sqrt[3]{\frac{4V}{\pi}}.$$

Высота банки:

$$h=\frac{V}{\pi x^2}=\frac{V}{\pi\left(\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}\right)^2}=\sqrt[3]{\frac{4V}{\pi}}.$$

Следовательно, при наименьшем расходе жести диаметр основания и высота банки равны.

Ответ

$$d=h=\sqrt[3]{\frac{4V}{\pi}}.$$