Упр.5.10 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. 5.10. Найдите максимум и минимум функции $$y=f(x)$$ на указанном отрезке, если:
   а) $$y=x^3-3x^2,\quad [-1;3]$$;
   б) $$y=x^3+3x,\quad [-1;2]$$;
   в) $$y=2x^3-6x^2+9,\quad [-2;2]$$;
   г) $$y=x^3-3x,\quad [-2;3]$$.

1. а) $$y=x^3-3x^2,\quad [-1;3]$$

   Найдём производную:

   $$y’=3x^2-6x=3x(x-2)$$

   Критические точки: $$x=0$$ и $$x=2$$. Обе принадлежат отрезку $$[-1;3]$$.

   Вычислим значения функции в концах отрезка и в критических точках:

   $$f(-1)=-1-3=-4$$

   $$f(0)=0$$

   $$f(2)=8-12=-4$$

   $$f(3)=27-27=0$$

   Следовательно, наибольшее значение функции равно $$0$$, наименьшее — $$-4$$.

2. б) $$y=x^3+3x,\quad [-1;2]$$

   Найдём производную:

   $$y’=3x^2+3=3(x^2+1)$$

   Уравнение $$3(x^2+1)=0$$ не имеет действительных решений, значит, критических точек нет.

   Вычислим значения функции на концах отрезка:

   $$f(-1)=-1-3=-4$$

   $$f(2)=8+6=14$$

   Значит, $$\max f(x)=14$$, $$\min f(x)=-4$$.

3. в) $$y=2x^3-6x^2+9,\quad [-2;2]$$

   Найдём производную:

   $$y’=6x^2-12x=6x(x-2)$$

   Критические точки: $$x=0$$ и $$x=2$$. Обе принадлежат отрезку.

   Вычислим значения функции:

   $$f(-2)=2\cdot(-8)-6\cdot4+9=-16-24+9=-31$$

   $$f(0)=9$$

   $$f(2)=2\cdot8-6\cdot4+9=16-24+9=1$$

   Следовательно, $$\max f(x)=9$$, $$\min f(x)=-31$$.

4. г) $$y=x^3-3x,\quad [-2;3]$$

   Найдём производную:

   $$y’=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$$

   Критические точки: $$x=-1$$ и $$x=1$$.

   Вычислим значения функции в концах отрезка и в критических точках:

   $$f(-2)=-8+6=-2$$

   $$f(-1)=-1+3=2$$

   $$f(1)=1-3=-2$$

   $$f(3)=27-9=18$$

   Значит, наибольшее значение функции равно $$18$$, наименьшее — $$-2$$.

Ответ

а) $$\max f(x)=0,\ \min f(x)=-4$$;

б) $$\max f(x)=14,\ \min f(x)=-4$$;

в) $$\max f(x)=9,\ \min f(x)=-31$$;

г) $$\max f(x)=18,\ \min f(x)=-2$$.