Упр.5.10 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
5.10 а) у = х3 — 3×2, [-1; 3];
б) у = х3 + 3x, [-1; 2];
в) у = 2х3 — 6×2 + 9, [-2; 2];
г) у = х3 — 3x, [-2; 3].
а) $$y=x^3-3x^2,\quad [-1;3]$$
Найдём производную:
$$y’=3x^2-6x=3x(x-2)$$
Критические точки: $$x=0$$ и $$x=2$$. Обе принадлежат отрезку $$[-1;3]$$.
Вычислим значения функции в концах отрезка и в критических точках:
$$f(-1)=-1-3=-4$$
$$f(0)=0$$
$$f(2)=8-12=-4$$
$$f(3)=27-27=0$$
Следовательно, наибольшее значение функции равно $$0$$, наименьшее — $$-4$$.
б) $$y=x^3+3x,\quad [-1;2]$$
Найдём производную:
$$y’=3x^2+3=3(x^2+1)$$
Уравнение $$3(x^2+1)=0$$ не имеет действительных решений, значит, критических точек нет.
Вычислим значения функции на концах отрезка:
$$f(-1)=-1-3=-4$$
$$f(2)=8+6=14$$
Значит, $$\max f(x)=14$$, $$\min f(x)=-4$$.
в) $$y=2x^3-6x^2+9,\quad [-2;2]$$
Найдём производную:
$$y’=6x^2-12x=6x(x-2)$$
Критические точки: $$x=0$$ и $$x=2$$. Обе принадлежат отрезку.
Вычислим значения функции:
$$f(-2)=2\cdot(-8)-6\cdot4+9=-16-24+9=-31$$
$$f(0)=9$$
$$f(2)=2\cdot8-6\cdot4+9=16-24+9=1$$
Следовательно, $$\max f(x)=9$$, $$\min f(x)=-31$$.
г) $$y=x^3-3x,\quad [-2;3]$$
Найдём производную:
$$y’=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$$
Критические точки: $$x=-1$$ и $$x=1$$.
Вычислим значения функции в концах отрезка и в критических точках:
$$f(-2)=-8+6=-2$$
$$f(-1)=-1+3=2$$
$$f(1)=1-3=-2$$
$$f(3)=27-9=18$$
Значит, наибольшее значение функции равно $$18$$, наименьшее — $$-2$$.
Ответ
а) $$\max f(x)=0,\ \min f(x)=-4$$;
б) $$\max f(x)=14,\ \min f(x)=-4$$;
в) $$\max f(x)=9,\ \min f(x)=-31$$;
г) $$\max f(x)=18,\ \min f(x)=-2$$.
