Упр.5.1 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) Что называют минимумом функции у = f(x) на отрезке [а; b], как его обозначают?
в) Верно ли, что если функция у = f(x) непрерывна на отрезке [а; b], то существуют точки этого отрезка, в которых функция принимает свое наибольшее и наименьшее значения?
г) Какую точку отрезка [а; b] называют точкой максимума функции у = f(x); точкой минимума функции у = f(x)? Как называют значения функции в этих точках?
д) Какую точку отрезка [а; b] называют точкой локального максимума; локального минимума функции у = f(х)? Как называют значения функции в этих точках?
е) Что называют точками локального экстремума функции у = f(x)?
ж) Верно ли, что если производная функции у = f(x) равна нулю в некоторой точке х0, то эта точка может не быть точкой локального экстремума функции у = f(x)? Приведите пример.
з) Какие точки отрезка [а; b] называют критическими точками функции? Как найти эти точки?
и) Объясните порядок отыскания максимума и минимума функции на отрезке.
к)* Объясните порядок отыскания максимума и минимума функции на интервале; полуинтервале.

1. Максимум функции $$y=f(x)$$ на отрезке $$[a;b]$$ — это наибольшее значение функции на этом отрезке; его обозначают $$\max\limits_{[a;b]} f(x)$$.

2. Минимум функции $$y=f(x)$$ на отрезке $$[a;b]$$ — это наименьшее значение функции на этом отрезке; его обозначают $$\min\limits_{[a;b]} f(x)$$.

3. Да. Если функция $$y=f(x)$$ непрерывна на отрезке $$[a;b]$$, то на этом отрезке она обязательно достигает и наибольшего, и наименьшего значений.

4. Точку отрезка $$[a;b]$$, в которой функция достигает наибольшего значения, называют точкой максимума функции. Значение функции в этой точке — максимум функции.

   Точку отрезка $$[a;b]$$, в которой функция достигает наименьшего значения, называют точкой минимума функции. Значение функции в этой точке — минимум функции.

5. Точку $$x_0$$ называют точкой локального максимума функции $$y=f(x)$$, если существует окрестность $$[x_0-\delta;\,x_0+\delta]$$, $$\delta>0$$, в которой для всех $$x$$ выполняется $$f(x)\le f(x_0)$$.

   Точку $$x_0$$ называют точкой локального минимума функции $$y=f(x)$$, если существует окрестность $$[x_0-\delta;\,x_0+\delta]$$, $$\delta>0$$, в которой для всех $$x$$ выполняется $$f(x)\ge f(x_0)$$.

   Значения функции в этих точках называют локальным максимумом и локальным минимумом.

6. Точки локального экстремума — это точки локального максимума и локального минимума.

7. Да. Равенство $$f'(x_0)=0$$ не означает, что точка $$x_0$$ обязательно является точкой локального экстремума.

   Пример: $$y=x^3$$. Тогда $$y’=3x^2$$, и $$y'(0)=0$$, но точка $$x=0$$ не является точкой локального экстремума.

8. Критические точки функции на отрезке $$[a;b]$$ — это точки, в которых производная равна нулю или не существует.

   Чтобы найти критические точки, нужно найти все значения $$x$$, для которых $$f'(x)=0$$ или $$f'(x)$$ не существует, и оставить только те из них, которые принадлежат отрезку $$[a;b]$$.

9. Чтобы найти максимум и минимум функции на отрезке $$[a;b]$$, нужно:

   1. найти критические точки, лежащие внутри отрезка;
   2. вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка;
   3. сравнить полученные значения: наибольшее из них — максимум, наименьшее — минимум.

10. Чтобы найти максимум и минимум функции на интервале или полуинтервале, нужно найти критические точки внутри области определения, исследовать поведение функции вблизи границ области и сравнить значения функции в найденных точках. Если наибольшее или наименьшее значение достигается, его и принимают за максимум или минимум; если не достигается, то соответствующего максимума или минимума нет.

Ответ

а) $$\max\limits_{[a;b]} f(x)$$ — наибольшее значение функции на отрезке.
б) $$\min\limits_{[a;b]} f(x)$$ — наименьшее значение функции на отрезке.
в) Да.
г) Точка максимума — точка, в которой функция принимает наибольшее значение; точка минимума — точка, в которой функция принимает наименьшее значение.
д) Точка локального максимума (минимума) — точка, в окрестности которой значения функции не превосходят (не меньше) значения в этой точке.
е) Точки локального экстремума — точки локального максимума и локального минимума.
ж) Да; например, $$y=x^3$$, $$f'(0)=0$$, но $$x=0$$ не является точкой экстремума.
з) Критические точки — точки, где $$f'(x)=0$$ или $$f'(x)$$ не существует.
и) Найти критические точки, вычислить значения функции в них и на концах отрезка, сравнить значения.
к) На интервале или полуинтервале исследовать критические точки и поведение функции у границ области определения.